浙江省台州市2023-2024学年高三上学期一模（期中）数学试题（Word版附解析）

台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学2023.11本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将集合中的元素代入集合，验证的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除A，D；当，时，，故，故C错误；当，时，，故，故B正确.故选：B2.若，则的取值可以为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】由，得，即，所以，即，当时，.故选：C. 3.已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】由，为在上的投影向量，所以，故故选：B4.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案【详解】由，，则，又，所以，故“”是“”的充分条件.当满足，，时，直线可能平行，可能相交，也可能异面.故“”不是“”的必要条件.故选：A5.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种B.360种C.480种D.504种 【答案】C【解析】【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C6.函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解.【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，，对于C，当时，，C不可能；对于D，当时，，D不可能；对于A，当时，，而当时，，则，A可能；对于B，当时，，而当时，，则，B不可能.故选：A7.已知二面角的平面角为，，，，，， 与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理、三角形的面积公式、二面角的知识求得正确答案.【详解】过作，垂足为，连接，依题意，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以.由于，所以平面，平面，所以在平面上的射影为，所以，根据三角形的面积公式以及正弦定理得：，由于，所以当时，取得最小值为.故选：D 8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数,，讨论得出函数单调性递增后，通过做差或做商判断，大小后，即可判断,的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断,的大小.【详解】因为，连接和,得割线方程,因为在上是下凸函数，所以在上，割线在正切曲线上方，即,所以当时，,令，，， 当时，因为,即，所以在单调增，即,因为，所以，即，故，即.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是2【答案】BD【解析】【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.【详解】设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设为，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误； 对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10.已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】由为等差数列，先求出，由可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断;选项C，先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和. 【详解】由为等差数列，，公差为，则当时，，则选项A不正确.当为偶数时，当为奇数时，故，所以选项B正确.当为偶数时，当为奇数时，所以，故选项C正确.所以，所以选项D正确故选：BCD11.已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（） A.若，则B.若，则的面积为9C.D.的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合四边形的形状分析A，B；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，利用与之间的关系求最值判断选项D.【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，如图：由双曲线：可知：，，，对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：，，若，则四边形为矩形，则，所以，即，所以，所以， 所以，故B正确；对于C，由双曲线的方程可知，在中，又因为双曲线渐近线方程为：，所以所以，即，故C错误；对于D，，当且仅当时，取到最小值为8，故D正确.故选：ABD12.已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（）A.B.（为自然对数的底数，）C.存在，D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】由原函数和导函数的对称性判断A；令，结合题设条件判断其单调性后可判断B，C，D.【详解】因为是定义域为的函数的导函数，所以是定义域为的可导函数，因为，所以的图像关于点对称，所以，而，故， 所以的图像关于对称，因为，故时，，所以，设，故时，，故在上为增函数，同理在上为减函数，对于A，因为，故，故A正确；对于B，，故，故B正确；对于C，当时，；当时，，而时，，故恒成立，故C错误；对于D，当时，单调递减，，，所以，故时，，而，故，故D正确；故选：ABD【点睛】思路点睛：抽象函数及其导数性质的讨论中，注意轴对称与中心对称的转化，另外对于原函数与导函数具有的不等式可适当构建新函数，通过新函数的性质得到原函数的性质.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若（为虚数单位），则______．【答案】##【解析】【分析】根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为，所以. 故答案：14.浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为______．【答案】【解析】【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理概率，最后由分类加法算出总概率.【详解】设：事件：这个学生来自甲学校；事件：这个学生来自乙学校；事件：这个学生来自丙学校；事件：甲学校学生选了物理；事件：乙学校学生选了物理；事件：丙学校学生选了物理；由题意知：这个学生选择是物理的概率：.故答案为：.15.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可）【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围.【详解】由余弦定理可得，因为角A为锐角，则，可得，所以的周长.故答案为：9（答案不唯一，内的任何一个值均可）.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______． 【答案】【解析】【分析】设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围.【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），所以可设点，且当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意；当切线的斜率存在时，可设为，联立，消去可得，化简可得，令，可得，化简可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因为点，所以的斜率为，则的方程为， 联立，解得，即，当时，的方程为，的方程则或，满足由两式相除可得，即由，可得再代入，可得，化简可得，可得，可知点轨迹为半径为的圆，圆心为,结合图形可知，又，，则.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求，进而可得结果；（2）由（1）可得：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】设的公比为，因为，即，且，可得，解得或（舍去）．又因为，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得：，所以，所以18.已知．（1）当时，求的最小正周期以及单调递减区间；（2）当时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）应用辅助角公式化简函数，应用公式求得，应用整体代入法即可求单调区间；（2）应用换元法，设，则函数转化为，，即可求解.【小问1详解】当时，，，令，，得，，所以函数的最小正周期为，单调递减区间为．【小问2详解】当，，设，则，令，，又，故当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的值域为．19.如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置． （1）若平面平面，求证：；（2）若点A到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可得平面，进而可得结果；（2）分析可知即为二面角的平面角，记为，建系，可得，结合点到线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以．又因为为的中点，则，所以为等腰三角形，可得，，即，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，且平面，所以．【小问2详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，取的中点，则，由（1）得，所以，所以即为二面角的平面角，记为．以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，因为，则，可得；， 则点A到直线的距离为，由题意可得，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值为或．20.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间3040506070数学成绩65788599108（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：，，． 0.100.0500100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），140.5分（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．【解析】【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）根据题意计算出，进而由独立性检验得出答案.【小问1详解】，，又的方差为，所以，，故，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．【小问2详解】零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：，因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21.已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点， 且．（1）求椭圆的方程；（2）记直线，的斜率分别为，，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据中点坐标关系即代入椭圆求解点轨迹，即可由求解，（2）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，根据两点斜率公式可求解，，即可根据二次函数的性质求解最值.【小问1详解】设中点，则，因为点在线段上，所以点只能在右半椭圆上运动，所以，即，由点在椭圆：上，所以，令，得，由，解得，故椭圆的方程为．【小问2详解】设：，，，．由得，则，， 又，，，令，得，当即时取等号，所以的最小值为．【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.设（1）求证：；（2）若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）将问题转化成求证，，构造函数，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，从而求出的最小值，即可证明结果； （2）通过取值，得出，再利用（1）结果，证明时，，再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果.【小问1详解】要证：，（，），只要证：，又当时，，当时，，即与同号，故只要证：，即证：，令，（，），则，当时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，故原不等式得证．【小问2详解】因为，当时，有，则，所以整数．当时，由（1）可得，下证：，，只要证：．令，，因为，所以在上单调递减，故，所以得证,综上所述，整数的最大值为2．【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.