浙江省台州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

台州市第一中学2023学年第一学期期中考试试卷高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线的一个方向向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】的一个方向向量是,故选：A2.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】的渐近线方程为，故选：C3.圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程. 【详解】由，即，半径为，由，即，半径为，所以，即两圆相交，将两圆方程作差得，整理得，所以公共弦所在直线方程为.故选：B4.已知两点到直线的距离相等，则（）A.4B.6C.2D.4或6【答案】D【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点，，直线，由于点与点到直线的距离相等，则有，解得：或.故选：D5.“直线与直线相互垂直”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直，求出的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，所以．当时，直线与直线相互垂直，而当直线与直线相互垂直时，不一定成立， 所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，故选:B．6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得，进而得到，利用勾股定理求得，进而得到，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得的外接圆半径为R，然后计算其面积.【详解】设，由抛物线的定义可知，所以，代入抛物线的方程中得到，由几何关系可知，.设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圆面积为.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆，圆，动圆P与圆A内切，与圆B外切，动圆圆心P的运动轨迹记为；②已知点A，B分别是x，y轴上动点，O是坐标原点，满足，AB，AO的中点分别为M，N，MN的中点为P，点P的运动轨迹记为；③已知，直线：，点P满足到点A的距离与到直线的距离之比为，点P的运动轨迹记为.设曲线的离心率分别是，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求出点P的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆，圆．所以为，的半径，，的半径，设动圆的半径为，则，，可得为定值，所以圆心在以、为焦点的椭圆上运动，由，得，，所以椭圆方程为，即动圆圆心的轨迹方程为，所以，对于②，设，，因为，所以，因为AB，AO的中点分别为M，N，所以，， MN的中点为P，所以，所以，因为，所以，故点P的运动轨迹记为：，所以；对于③，设点，由题意可得，整理可得.所以，点P的运动轨迹的方程为：，所以，所以.故选：A.8.已知、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，， ，则椭圆的离心率的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设则，,所以，由余弦定理可得，故，进而可得，令，则，，令，所以，对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故当和时，，故的最大值为，所以，故的最大值为，故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线的实轴长为6B.双曲线的虚轴长为2C.双曲线的焦距为D.双曲线的离心率为【答案】AB【解析】【分析】由题设可得，结合已知方程得双曲线方程为，进而判断各项正误.【详解】由题设，而，故，则，所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为，故A、B对，C、D错.故选：AB10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于和的任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与直线的斜率之积为C.存在点满足D.若的面积为，则点的横坐标为 【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A，计算出和的斜率计算B，根据圆的直径所对圆周角为判断C，由三角形面积公式判断D.【详解】A选项中，因为椭圆方程为，则，所以，由椭圆的定义知，，所以，A正确；B选项中，椭圆的左、右顶点分别是，，设，因为点是椭圆上异于和的任意一点，所以将代入到椭圆方程得：，且，，所以，因为，所以，所以，B正确；C选项中，由椭圆方程知，，，，若，则点在以线段为直径的圆上，以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在满足，C错误；D选项中，，所以，所以代入到知，，D正确. 故选：ABD11.设直线系M:，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P在M中的任意一条直线上B.圆与M中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数，存在正边形，其所有边均在M中的直线上D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC【解析】【分析】由于点到直线系的距离均为，则直线系表示与圆的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点到直线系的距离为，故直线系表示与圆的切线的集合，对于A选项，由于直线系表示圆的切线，其中存在两条切线平行，所以中所有直线经过一个定点不可能，故A选项错误；对于B选项，由于直线系表示圆的切线，而圆内含于圆中，得中的所有直线均与圆无公共点，故B选项正确；对于C选项，由于圆所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故C选项正确；对于D选项，正的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线交抛物线于点，为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（） A.为定值B.C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，设，则，联立，利用韦达定理求得，进而可求得，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断CD.【详解】如图，设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，设，则，联立，消得，则，又，则，则，对于A，，，故A正确；对于B，，因为不是定值，所以不是定值，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为，则，则，所以，又因，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线的方程为，则倾斜角为_______，在轴上的截距为________.【答案】①.②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y轴交点的纵坐标即得.【详解】直线的方程为的斜率，令其倾斜角为，则，于是；当时，，所以直线在轴上的截距为4. 故答案为：；414.准线方程为的抛物线的标准方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为，得该抛物线开口向右，且，得，故抛物线的方程为：.故答案为：15.过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】由题意可知即为椭圆与直线的交点，设，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出的最大值是.【详解】根据题意可知，显然在椭圆上，不妨取，则，设，由不重合可知，且，即所以，根据二次函数性质可知，当时，取最大值为，即可得的最大值是.故答案为：16.已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，，则双曲线的离 心率的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设、的内切圆圆心分别为、，设圆切、、分别于点、、，过的直线与双曲线的右支交于A、两点，由切线长定理可得，，，所以，，则，所以点的横坐标为.故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.在中，，即，，，所以，，所以，，则， 所以，即，由题意可得：，可得，即，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点，.（1）求直线的一般式方程；（2）若点，求点C关于直线的对称点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直线l的斜率，从而利用点斜式求出直线l的方程，化为一般式；（2）设出对称点，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出，得到对称点.【小问1详解】直线l的斜率为，所以直线l方程为，即；【小问2详解】设点C关于直线的对称点坐标为,显然的中点坐标满足，即，又直线与直线l垂直，故，联立与，解得， 所以点C关于直线的对称点的坐标为.18.已知直线，圆，圆.（1）求直线被圆截得的弦AB的长；（2）判断圆和圆的位置关系，并给出证明.【答案】（1）（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆为标准方程，求出到直线的距离，则，代入求解即可得出答案；（2）化简圆为标准方程，求两圆圆心距与，比较，即可得出答案.小问1详解】因为圆，所以，则圆的圆心为，，则到直线的距离为：，所以【小问2详解】因为，则，则圆的圆心为，，，所以两圆内切.19.已知圆经过，，.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相切，且与轴正半轴交于点，交轴正半轴于点.求 的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆，则，可得，所以.【小问2详解】由题意，设直线，即，而且半径为2，直线与圆相切，则，则，所以，化简得.20.已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）取上一点，任作弦，满足,则直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）（2）定点为【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点的轨迹方程；（2）首先将点代入抛物线中求得参数的值，然后假设，，利用已知条件，得到，最后代入直线方程中即可得到恒过定点. 【小问1详解】已知动点到定点的距离比到直线的距离小，可得动点到定点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹的方程为.【小问2详解】将代入中，可得：，，故得：，即得：；如图，设，，由于，整理可得：.，则根据点斜式方程可得：，整理得：由直线的方程，可知直线恒过定点21.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为. （1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设所在直线斜率为，则斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为，，解得，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】当矩形一组对边斜率不存在时，矩形的边长分别为4和2，则矩形的面积为8，当矩形的四边斜率都存在时，不妨设的斜率为，则的斜率为，设直线AB方程为，联立，得，由，可得，显然直线CD的方程为，则直线之间的距离为，同理可得：之间的距离为， 所以矩形的面积为，取等条件：，当AB斜率存在时，.综上所述，面积S的取值范围是.