安徽省合肥市长丰北城衡安学校2024届高三上学期期中数学试题（Word版附解析）

衡安学校2023--2024年度上学期高三年级第三次调研考试数学试卷满分：150时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式求解集合B，然后利用集合的关系及交并补运算逐项判断即可.【详解】因为或，又，所以集合不是的子集，故选项A错误，，故选项B错误，因为，，所以集合不是的子集，故选项C错误，，故选项D正确.故选：D.2.已知a，，，若，则的虛部是（）A.2B.-2C.-2iD.2i【答案】A【解析】【分析】根据复数相等建立方程求解复数，再利用共轭复数及虚部的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以的虛部是2.故选：A3.设平面向量，，且，则=（） A.1B.14C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.【详解】因为，所以又，则所以，则，故选：4.已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，根据结合函数的对称性可得及的范围，从而求解的范围.【详解】作出函数的图象如图：设，且，则函数与直线的三个交点从左到右依次为，，， 则点与在函数上，而函数的图象关于直线对称，所以，由得，若满足，则，所以，所以，即的取值范围是.故选：A.5.已知一元二次不等式的解集为，则有（）A.最小值B.最大值C.最小值2D.最大值2【答案】B【解析】【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以当且仅当，即当且仅当，所以，注意到当时，有，所以由基本不等式可得，从而，当且仅当即时，等号成立，综上所述：有最大值. 故选：B.6.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先由切弦互换公式、二倍角公式结合已知求得，然后由两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，化简并整理得，又因为，所以，所以，所以.故选：B.7.的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（）A.B.C.3D.或3【答案】A【解析】【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解.【详解】由，因为，可得，又由边上的角平分线，所以， 在中，可得，在中，可得,因为，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因为，可得，即，可得，所以.故选：A.8.已知定义在上的函数满足，且，，，．若，恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由得到的图象关于点对称，再由，，， 得到在上单调递增，再将，转化为，从而有，即，，然后令，，用导数法求得其最大值即可.【详解】解：由，得，故的图象关于点对称．因为，，，．所以在上单调递增，故在上单调递增，因为，所以，所以，即，．令，，则．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以．故选：B二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若复数满足，则C.若，则复数一定为实数D.若复数满足，则最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据复数相等、复数运算、复数模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由于，根据复数相等的知识可知，A选项正确.B选项，若，则，但，B选项错误.C选项，设，由得，则，解得，所以为实数，C选项正确.D选项，由于，所以对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为，D选项正确.故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件B.已知向量，若，则C.若向量，则在方向上的投影向量坐标为D.在中，向量与满足，则为等边三角形【答案】BC【解析】【分析】对于A，由的夹角为锐角得且不共线求解判断；对于B，由可求得 ；对于C，根据投影向量的求法判断；对于D，运算后可判断.【详解】对于A，由的夹角为锐角，得且不共线，则，解得且，因此“的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A错误；对于B，由量，，得，解得，B正确；对于C，由向量，得，因此在方向上的投影向量为，C正确；对于D，在中，，而，因此，所以不一定为等边三角形，D错误.故选：BC11.已知函数，则（）A.若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3B.若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C.若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1D.若函数在上单调递增，则【答案】BC【解析】 【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A，由根的个数可确定，据此判断B，平移后由函数为奇函数可得，可判断C，特殊值检验可判断D.【详解】对于A，因为函数的图像关于直线对称，所以，则，因为，则的值不可能为3，故A错误；对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；对于C，由已知得，因为函数关于原点对称，则为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；对于D，当时，，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．故选：BC．12.已知函数，则（）A.当时，单调递减B.当时，C.若有且仅有一个零点，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】通过导数的正负得出单调性，即可判断A；利用导数得出函数的单调性判断B；若，则，设，即，设 ，结合单调性求得，即可判断C；若，则，即，求解可判断D.【详解】对于A：当时，，，，设，所以，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，因为，所以，单调递减，故A正确；对于B：当时，，设，则，令得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，且，所以，设，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故B正确；对于C：， 若，则，设，即，设，则，因为，所以，所以在上，单调递减，若有且仅有一个零点，则，此时，故C错误；对于D：若，则，即，因为单调递减，所以，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：(1)构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2)根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.为虚数单位，则__________．【答案】【解析】【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.【详解】，故答案为：.14.在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为__________.【答案】【解析】 【分析】根据，利用平面向量基本定理可得，利用基本不等式可求得，结合对数运算可得结果.【详解】，，在线段上且与端点不重合，，且，，（当且仅当时取等号），，.故答案为：.15.在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用，再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得，根据锐角三角形性质可得取值范围，从而得的取值范围，代入化简即可得出结论.【详解】三倍角公式： ，因为，所以.故，△ABC锐角三角形，故解得，故，．故答案为：16.已知函数，，若，，则的最大值为__________【答案】##【解析】【分析】由已知可得，，结合函数的图像得，再利用导数求函数的最大值即可.详解】依题意，，，由函数，求导得，当时，，递减，当时，，递增，又当时，，时，，作出函数的图象，如图： 观察图象知，当时，有唯一解，而，于是，且，因此，设，，求导得，令解得，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，所以的最大值为，故答案为：四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上.（1）求；（2）设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，再根据在复平面上对应的点在虚轴上，由求解；（2）先得到各复数在复平面上对应的点分别为，，，然后利用余弦定理求得一个角，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】 解：∵，∴，，∴；【小问2详解】由（1）知：，，∴，，∴.在复平面上对应的点分别为，，，∴，，，由余弦定理可得，且，∴，∴.18.某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元（1）请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？【答案】（1），定义域为（2）8 【解析】【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的表达式即可；（2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可．【小问1详解】由题意可知，，因为每平方米的平均环保费用为元，因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，所以每平方米的综合费用，其中函数的定义域为.【小问2详解】由（1）可知，则，令得，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，取得极小值即为最小值，所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．19.（1）如图①，在中，为边上的高，，，，，求的值；（2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得BC，由等面积法可求得AD，根据数量积的运算律得到，从而得解．（2）建立平面直角坐标，设，，利用坐标法表示出，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】（1）因为，所以，，所以，又，，，故由余弦定理可得，则，又，所以，所以，所以.（2）以为原点，为轴，反方向为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，设，，则，，所以， 因为，则，所以，所以.20.已知函数.（1）已知，求最小值；（2）讨论函数单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最值即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，根据导函数的正负，判断函数的单调性即可.【小问1详解】当时，，所以.时，，时，，时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故最小值为.【小问2详解】 ，时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.当时，当或时，在和上单调递增；当时，在上为减函数.当时，上，在上为增函数.当时，当或时，在和增函数；当时，在上为减函数.综上，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在和上单调递增，在上为减函数；时，在上为增函数；时，在和为增函数，在上为减函数.21.某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点，，设．（1）用表示，并求的最小值；（2）问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？ 【答案】（1），的最小值为12（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可将分别用表示出来，从而可将表示出来，根据的范围以及正弦函数的单调性即可求出的最小值.（2）由（1）可知，由已知条件可以推出，，从而在中，运用余弦定理即可表示出，通过三角恒等变换化简表达式，根据的范围以及正弦函数的单调性即可求出的最小值，以及取最小值时相应的的值.【小问1详解】因为，且，所以，所以，所以，因为，所以，当时，即时，，所以的最小值为12．【小问2详解】因为，所以，所以三角形是等边三角形，所以， 又由（1）可知，所以在中，由余弦定理得因为，所以，当，即时，取最小值112，即取最小值，故当时，与设施之间的距离最近．22.已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．（1）求实数a的值：（2）证明：当时，；（3）令，且．证明：．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对和求导，结合导数的几何意义列方程求参数即可；（2）构造且，利用导数研究单调性比较函数值大小，即可证结论；（3）由题设有，应用分析法转化为证，结合放缩化为证 ，将左侧构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而确定函数值符号即可证结论.【小问1详解】由条件可得，且，．因为曲线和在原点处有相同的切线，所以，解得．【小问2详解】要证，即证．令且，则，再令，则，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，故．所以．即成立．【小问3详解】由（1）得：当时，所以，即，两边同除以，得，即．∴要证，只需证，又，只需证． 设，，则，由于函数区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减，而，所以当时恒成立，在上单调递减．所以当时，，当且时，又，当时，，即，所以，即成立．【点睛】关键点点睛：第三问，利用分析法、放缩思想，将问题转化为证为关键.