安徽省合肥市长丰县第一中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

安徽省长丰一中2023-2024学年高二上学期第一次素养提升数学考试（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（）A.B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，运用复数的除法运算，化简复数Z，根据复数的代数形式，确定虚部.【详解】，其虚部为2.故选D.【点睛】本题考查复数的四则运算，基础题.2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8【答案】B【解析】【分析】由已知列举出代表今后三天都不下雨的随机数，以及今后三天都不下雨的随机数个数，利用古典概型和对立事件的概率求解即可．【详解】代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件.所以，故选：B.3.已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用夹角公式即可求解.【详解】∵，，，的夹角为，∴.∴，，∴.设向量与向量的夹角为，∴.∵，∴.故选：A4.已知两个向量，，且，则的值为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.5.如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接．故选：B.6.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以为基底，求，，，结合求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，即直线与直线所成角的余弦值为．故选：B．7.已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设外接圆圆心为，半径为，由正弦定理可得，利用求得球的半径后，由球的体积公式即可得解.【详解】设外接圆圆心为，半径为，连接，如图，易得平面，，，，即，，，球的体积.故选：A.【点睛】本题考查了直棱柱的几何特征及外接球体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.8.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若、则线段长度的取值范围为（） A.[)B.[]C.[)D.[]【答案】A【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点坐标为，，故，因为，故可得，则，由可得，又，故,故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.下列命题是真命题有（）A.A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C.直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD.平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（）A.A与B互斥B.A与C互斥C.B与C独立D.B与D对立【答案】BC【解析】【分析】写出事件所包含的基本事件，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断ABD；求出，得到C正确. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间，故事件，事件，事件，事件.A选项，，故A与B不互斥，A错误；B选项，，故A与C互斥，B正确；C选项，，故，又，，故，所以B与C独立，C正确；D选项，，但，所以B与D不对立，D错误.故选：BC11.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，自1924年起，每四年举办一届，第24届由中国2022年2月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区，共15个比赛项目.为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（） A.甲社团众数小于乙社团众数B.甲社团的平均数小于乙社团的平均数C.甲社团的第80百分位数等于乙社团的第80百分位数D.甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】ACD【解析】【分析】根据众数、平均数、方差、百分位数的定义计算可得；【详解】解：A选项，甲社团众数2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲的平均数为，乙的平均数为，所以平均数相等，所以B错误；C选项，甲社团数据从小到大排列为2、2、2、3、3、4、5，其中，所以甲社团的第80百分位数为4，同理可得乙社团的第80百分位数为4，所以C正确；D选项，甲社团的方差为，乙社团的方差为，故甲社团的方差大于乙社团的方差，D正确.故选：ACD12.若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，的最小值为 D.若，点P的轨迹为一段圆弧【答案】AC【解析】【分析】当时，可得点P的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P到平面的距离不变，即可判断A的正误；当时，可得点P的轨迹，利用反证法可证，P到平面的距离在变化，即可判断B的正误；当时，可得三点共线，利用翻折法，可判断C的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得和的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为，其中，所以点P在平面内运动，对于A：取AD中点E、中点F，连接EF，所以，因为平面，平面，所以平面，当时，则，所以点P在线段EF上运动，因为平面，所以无论点P在EF任何位置，P到平面的距离不变，即高不变，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B：取中点G，中点H，连接GH，当时，，所以点P在GH上运动，假设平面，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上运动时，P到平面的距离在变化，所以三棱锥的体积不是定值，故B错误；对于C：连接，，，当时，可得三点共线，将沿翻折至与平面共面，如下图所示连接AB，当P为AB与交点时，最小，即为AB， 因为均为面对角线，所以，即为等边三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正确；对于D：分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，设，所以，所以因为平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即， 所以P点轨迹为线段，故D错误故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么________【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由于，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故，故答案为：14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率．故答案为：．15.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．【答案】【解析】【分析】利用等体积法求得到平面的距离.【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，依题意可知平面，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，即到平面的距离是.,，所以，由于，所以，，设到平面的距离为，则，即.故答案为：16.在四棱锥中，四边形为正方形，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为（为锐角），则当 取最小值时，三棱锥的体积为___.【答案】【解析】【分析】由题知两两垂直，进而建立空间直角坐标系，设，利用坐标法求解二面角得当时，平面与平面所成的二面角为取最小值，再计算几何体的体积即可得答案.【详解】解：因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，所以，又因为，所以两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，由题易知平面法向量为，所以，当且仅当时等号成立，所以当时，平面与平面所成的二面角为取最小值，此时三棱锥的体积为.故答案为：四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在中，角所对的边分别为、、，满足 （1）求角的大小；（2）若，且，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式可得，即可得；（2）根据向量的比例关系可得，由余弦定理可解得，由面积公式即可求出结果.【小问1详解】）在中，因为，由正弦定理可得，所以，又，则，所以，因此.【小问2详解】由，且，，可得，，即；在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍）所以；即的面积为.18.已知在平行六面体中，，，且. （1）求的长；（2）求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【小问1详解】在平行六面体中，为空间的一个基底，因为，，且，则，，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，又，所以向量与夹角的余弦值.19.为分析某次数学考试成绩，现从参与本次考试的学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示． （1）求频率分布直方图中的值；（2）试估计本次数学考试成绩的平均数和第50百分位数；（3）从样本分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率．【答案】（1）；（2）107.4，105.7；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布表中各小矩形面积和为1计算作答.（2）利用频率分布表估计平均数及第50百分位数作答.（3）求出给定的两个区间内的人数，再利用列举法求出概率作答.【小问1详解】由频率分布表知，成绩在内的频率依次为，由，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，第50百分位数，则有，解得，所以本次数学考试成绩的平均数为107.4，第50百分位数105.7.【小问3详解】分数在，的两组学生的人数比为， 因此用分层抽样的方法抽取的5名学生中，分数在内的学生有4人，记为，分数在内的学生有1人，记为，从5名学生中随机选取2人的结果有，共10个，选出的2名学生中恰有1人成绩在内的结果有，共4个，所以选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率为.20.如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.（1）求证：平面；（2）若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.【小问1详解】作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.则，，设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.21.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制” 赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．（1）若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？【答案】（1）获得冠军的概率分别为，；（2）淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.【解析】【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；（2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.【小问1详解】获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，获得冠军的概率为，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，获得冠军的概率为.【小问2详解】 淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；综上，获得冠军的概率.令，若强队，则，故，所以，双败赛制下对强者更有利.【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键.22.在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足．（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】 【分析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则 ，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.