重庆市第一中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2023年重庆一中高2025届高二上期第一次月考考试数学试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.椭圆的短半轴长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程确定短半轴长即可.【详解】由椭圆方程知：，即短半轴长为.故选：B2.双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线渐近线为，且注意到双曲线的离心率为，又在双曲线中有平方关系：， 所以离心率为，又由题意，所以有，解得，即双曲线的渐近线的斜率为，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或.故选：B.3.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，则的值为（）A.B.1C.3D.7【答案】D【解析】【分析】由正弦定理边角转化即可得.【详解】已知，又由正弦定理得，，则.故选：D.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为144的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切.则下列椭圆的标准方程中满足题意的是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【详解】依次求出与选项中椭圆相切的矩形的面积，得到答案.A选项，中，，故与相切的矩形面积为，满足要求；B选项，中，，此时矩形面积为，不合要求；C选项，中，，此时矩形面积为，不合要求；D选项，同理可得，此时矩形面积为，不合要求.故选：A5.圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为（）A.2B.C.1D.0【答案】C【解析】【分析】由题意直线垂直于直线，利用点斜式写出直线，再求其与轴交点即得结果.【详解】由题设，直线垂直于直线，则直线，又圆心在轴上，令，则，即圆心的纵坐标为1.故选：C6.设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A.4B.C.3D.2【答案】A【解析】 【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积.【详解】由，所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，所以为直角三角形，，如上图，，且，所以，则，故的面积为.故选：A7.斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】由点在椭圆内有求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有，，结合韦达定理有，即可求的范围.【详解】由题设，在椭圆内，则， 设直线代入椭圆，整理得且，则，由图知：直线斜率不可能为0，所以，故或.故选：C8.已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，则直线与直线的距离为，因为点是直线上任意一点，且圆与双曲线的右支没有公共点，所以，即，得离心率，因为，所以双曲线的离心率的取值范围为， 故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知圆：，圆：，则（）A.两圆外切B.直线是两圆的一条公切线C.直线被圆截得的最短弦长为D.过点作圆的切线仅有一条【答案】ABC【解析】【分析】由两圆的位置关系可判断A；由直线与圆的位置关系可判断B，C，D.【详解】对于A，已知圆：，圆：，则，，，所以两圆外切，故A正确；对于B，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故直线是两圆的一条公切线，故B正确；对于C，直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，所以直线被圆截得的最短弦长为，故C正确；对于D，因为，所以点在圆外，故过点作圆的切线有两条，D错误.故选：ABC.10.已知曲线：，为上一点，则（）A.曲线在第一象限的图象为双曲线的一部分 B.点不可能落在第三象限C.直线与曲线有两个交点D.若直线：与曲线有三个交点，则【答案】AC【解析】【分析】讨论符号研究不同象限对应曲线，结合椭圆、双曲线性质，数形结合判断各项的正误即可.【详解】当，则曲线，双曲线的一部分；当，则曲线：；当，则曲线不存在；当，则曲线：；当，则曲线，双曲线的一部分；当，则曲线，椭圆的一部分；又过点，且曲线在第一、三象限对应双曲线的一条渐近线为，所以，曲线如下图示：所以A、C对，B错；由恒过，结合C项分析，如下图示， 显然时与曲线也有三个交点，D错.故选：AC11.已知正方体的棱长为4，为空间中一点，则下列结论中正确的是（）A.直线和平面所成角的余弦值为B.正方体的外接球表面积为C.若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D.若在正方形内部，且恒成立，则点轨迹为圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】由线面角定义求直线和平面所成角的余弦值判断A；由正方体外接球半径为体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积判断B；由已知确定轨迹图形，进而求其长度判断C；利用一个与轴成的平面截一个圆锥体所得的图形即知轨迹判断D.【详解】A：由面，所以直线和平面所成角为，则，对；B：由正方体外接球半径为体对角线的一半，即为，则其表面积为，对；C：由在正方形内部，且，若分别是上的点，且，此时， 由图知：在上，故以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，所以点轨迹的长度为，对；D：由于与面不垂直，在正方形内部，且恒成立，以为轴，过与轴成的直线在旋转过程中在面上轨迹分析如下：以为轴，过与该轴成的直线旋转得轴截面为等边三角形的圆锥体，在面上轨迹：用面与所成角为，且过点在圆锥侧面所截得的图形，即为椭圆，如下图，该圆锥的轴截面且正方形为正方体一个侧面，，所以在面上轨迹：以为长轴长的椭圆，故点轨迹为椭圆的一部分，错.故选：ABC12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆：于，两点，下列结论正确的是（）A.实数越大，椭圆越圆B.若，且，则C.当时，过的直线交于A，B两点（点A在轴的上方）且，则的斜率 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆越扁；B选项，根据，得到，又，得到方程，求出，得到离心率；C选项，设出的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率；D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，D正确..【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆离心率为，越大，则离心率越大，故椭圆越扁，A错误；B选项，因为，则，又，则，故，又，解得，故，B正确； C选项，当时，椭圆：，且，当过的直线斜率为0时，此时在轴上，不合要求，舍去，设过的直线的方程为，因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0，联立得，，设，则，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，因为，所以，故，所以，解得，负值舍去，所以直线的方程的斜率，C错误； D选项，设，则，所以，则，同理可得，由得，故，则，又，故，D正确. 故选：BD【点睛】椭圆焦半径公式：（1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，则，，（2）椭圆上一点，其中椭圆下上焦点分别为，则，，记忆口诀：左加右减，下加上减.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.若直线：与直线：平行，则实数_____________.【答案】【解析】【分析】根据平行关系得到方程，求出答案.【详解】由题意得，解得，检验符合.故答案为：14.焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公 共点的横坐标为1，则的方程_______________【答案】【解析】【分析】先求出椭圆的离心率，，在第一象限内公共点的坐标，从而利用待定系数法求出的方程.【详解】椭圆中，，故椭圆的离心率为，中，令得，故，在第一象限内公共点的坐标为，设，将代入可得，又，解得，，故答案为：.15.焦距为12的双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的实轴长为_______________【答案】8【解析】【分析】设，则，内切圆半径为，根据三角形面积的两种表达得到方程，求出，结合双曲线定义得到，因为，表达出，，由正弦定理得到，得到方程，求出，得到焦距.【详解】由题意得，设， 因为，所以，因为为的内心，所以内切圆半径为，则，又，故，解得，根据双曲线定义可知，，解得，因为，所以，因为，所以，因为平分，所以，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，所以，即，解得，故焦距为.故答案为：816.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________. 【答案】【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，，根据椭圆定义，设，则，即，则，当时，取到最小值．当时，取到最大值．故的取值范围为：.故答案为：.四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求，的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理列方程求边长；（2）由三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求面积最大值，注意取值条件.【小问1详解】由题设，又，所以，故.故，.【小问2详解】由.而，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.18.已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.（1）求双曲线的方程；（2）一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即可；（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据代入韦达定理即可求解.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以①， 又因为点在双曲线上，所以②，①②联立解得，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由（1）可知双曲线中，所以右焦点坐标为，即直线的横截距为，又因为直线的纵截距为，所以直线的方程为，即，联立得，设，，则，，所以.【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，代入可整理出结果.19.圆：内有一点，过直线交圆于，两点.（1）当为弦中点时，求直线的方程；（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得⊥，根据得到，从而求出直线的方程；（2）先求出公共弦方程，即直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理求出答案.【小问1详解】因为为弦中点，由垂径定理得⊥，因为，所以，故直线的方程为，即；【小问2详解】与相减得，，即直线的方程为，圆心到直线的距离为，由垂径定理得的长度为.20.在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，⊥平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析 （2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到⊥平面，进而得到⊥平面，证明出面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案.【小问1详解】因为⊥平面，平面，所以⊥，又，，平面，所以⊥平面，因为，所以⊥平面，因平面，所以平面平面；【小问2详解】因为⊥平面，平面，所以⊥，故，且两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故， 设直线与平面所成角的大小为，则.直线与平面所成角的正弦值为.21.已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）过的直线交轨迹于，两点，点在直线上.若为以为斜边的等腰直角三角形，求的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先判断圆在圆内，设且对应圆半径为，根据题设及两点距离公式得到关于关系，代入距离公式整理即得轨迹方程；（2）设直线为，联立整理为一元二次方程形式，应用韦达定理、弦长公式得，求中点及其中垂线与交点，根据已知有列方程求参数，即可求的长度.【小问1详解】 由题设且半径，且半径，所以，即圆在圆内，设，又为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，且半径为，所以，则.所以轨迹方程为.【小问2详解】由题意，直线的斜率一定存在，设直线为，由，即在椭圆内，联立椭圆方程整理得：，所以，且，则，又，则中点，所以线段垂直平分线为，令，则，故交点坐标 ，由为以为斜边的等腰直角三角形，所以则，则，所以，故.22.已知椭圆：，，.（1）若椭圆的离心率是，求的值；（2）椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于，且，是不同的两点.①设的面积是，的面积是，当时，求的范围；②若点，满足，且，则点在点的右下方.求证：点在点的右下方.【答案】（1）或（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）首先对参数分类讨论，然后结合平方关系、离心率公式即可求解.（2）①画出图形，先将直线方程与椭圆方程分别联立，分别求出，的坐标，然后再将面积比转换为 线段长度之比，即坐标变化量之比，从而可将表示成关于的函数，结合题意可以求出的范围，由复合函数单调性即可求出的范围；②要证明点在点的右下方，只需证明直线的斜率即可，结合①中的数据并通过适当的运算技巧即可得证.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，当时，，解得，当时，，解得，综上所述：若椭圆的离心率是，则或.小问2详解】①如图所示：当时，椭圆方程为，此时，，，所以直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立得,消去化简并整理得，解得， 同理直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立得,消去化简并整理得，解得，注意到，由题意可知，从而，所以，因为为椭圆内部一点，将代入得，因此，所以，因为当时，函数单调递减，所以由复合函数单调性可知在上单调递减，所以，综上所述：当时，的范围为.②由题意若要证明点在点的右下方， 只需证明直线的斜率即可，由①中分析可知，，，，所以，，所以，因为，所以，所以，综上所述：由以上分析可知点在点的右下方.