重庆市育才中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

重庆市育才中学校高2026届高一（上）第一次月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡､试卷､草稿纸一并收回.第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合或，则（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】化简集合，利用交集的定义求解.【详解】化简集合，得，又集合或，由交集的定义可得，.故选：B2.命题“，使得”的否定是（）A.，均有B.，均有C.，有D.，有【答案】B【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由题意可知，命题“∃x∈R使得x2+3x+2<0”是存在量词命题，所以其否定是∀x∈R,均有x2+3x+2≥0，故选：B.3.使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】由，即，解得，因为真包含于，所以使得不等式“”成立的一个必要不充分条件可以是.故选：C4.若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可知方程有实数解，即求.【详解】由题知方程有实数解，∴，解得，故选：B.5.为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（）A.30B.31C.32D.33【答案】C【解析】 【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，则：，；故答案为：32人.6.已知集合，，，则集合，，的关系为（）A.B.C.D.，【答案】B【解析】【分析】对集合中的元素通项进行通分，注意与都是表示同一类数，表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.【详解】对于集合，，对于集合，，对于集合，，由于集合中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且，注意到与表示数都是3的倍数加1，表示的数是6的倍数加1， 所以表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以.故选：B.7.对于集合，定义，，设，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合，，则，，由定义可得：且，且，所以，选项ABD错误，选项C正确.故选：C．8.已知正数满足，则的最小值为（）A.36B.42C.46D.49【答案】D【解析】【分析】由题设可得，利用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列关于符号“”使用正确的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：或，故D错误；故选：BC10.下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.【详解】A选项，当，时，根据不等式的性质可知，A选项是真命题.B选项，当，时，如，，B选项是假命题. C选项，当时，，两边乘以得，C选项是真命题.D选项，当，时，，D选项是真命题.故选：ACD11.以下说法正确的有（）A.实数是成立的充要条件B.对恒成立C.若对任意恒成立，则实数的取值范围为D.若，则的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】A将代入判断；B展开不等式右侧，结合基本不等式判断不等关系；C问题化为，利用基本不等式求最大值即可得参数范围；D基本不等式求最小值，注意等号是否能够成立即可.【详解】A：当时成立，但不成立，错；B：有，当且仅当时等号成立，对；C：由题意在上恒成立，只需即可，而，当且仅当时等号成立，故，所以，对；D：， 而，即，故等号不成立，错.故选：BC12.下列命题正确的是（）A.若，，则；B若正数a、b满足，则；C.若，则的最大值是；D.若，，，则的最小值是9；【答案】BC【解析】【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.【详解】对于选项A，，因为，，所以，,即，故，所以A错误；对于选项B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于选项C，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误. 故选：BC.第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知实数满足，则的取值范围是_________________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质即可求得答案【详解】解：因为，所以，因为所以，所以的取值范围是，故答案为：14.不等式的解集是，则______．【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.【详解】由题设，，可得，∴.故答案为：15.已知，，则______.【答案】 【解析】【分析】根据交集定义可联立构造方程组求得的值，从而得到结果.【详解】由得：或或，.故答案为：.16.已知正实数满足，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】将，变形为，再由，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，所以，所以，（当且仅当时，联立，解得），所以的最小值为4，故答案为：4四､解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知全集，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）或 【解析】【分析】（1）根据并集知识求得正确答案.（2）根据交集和补集的知识求得正确答案.【小问1详解】由于，，所以【小问2详解】，所以或.18.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合.（1）当时，求；（2）若__________，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由集合的交补运算求结果；（2）根据所选条件判断集合间的关系，注意讨论、分别求参数范围，即可得参数范围.【小问1详解】由题设，则或，所以.【小问2详解】选①：，选②：，若，则，满足； 若，则；综上，.选③：，若，则，满足；若，则或；综上，.19.解答下列各题.（1）已知，试比较与大小；（2）设均为正数，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）应用作差法比较大小即可；（2）由，应用基本不等式证明结论.【小问1详解】，又，所以，故，即.【小问2详解】由题设，又，当且仅当时等号成立，所以，得证. 20.为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法，市场调查发现，某件产品的月销售量m(万件)与广告促销费用x(万元)()满足：，该产品的单价n与销售量m之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为y万元.（1）请用x表示y并表示出x的范围；（利润=销售额-成本-广告促销费用）（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）且；（2）广告促销费用定为万元的时候，该产品的利润最大为万元.【解析】【分析】（1）根据题设有，结合已有函数模型即得的表达式，并确定自变量范围；（2）利用基本不等式求函数最大值，并写出利润最大时对应广告促销费用即可.【小问1详解】由题意，，又，所以且.【小问2详解】由（1）知：，当且仅当时等号成立，所以,广告促销费用定为万元的时候，该产品的利润最大为万元.21.已知正数满足.（1）求的最小值； （2）求的最小值.【答案】（1）4（2）25【解析】【分析】（1）（2）根据基本不等式即可求解，【小问1详解】由，故，当且仅当时等号成立，故最小值为4，【小问2详解】由可得，故因此，当且仅当，即等号成立，故最小值为25，22.若实数满足，则称比远离.（1）若比远离1，求实数取值范围；（2）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题设定义有，解绝对值不等式求范围；（2）令，，数形结合判断讨论函数、上的点到的距离研究的情况，根据定义判断的情况.【小问1详解】由题设或或，所以实数的取值范围是.【小问2详解】 由题设，令，，所以，问题化为讨论在函数、上取相同x值的点到的距离关系，画出、、的图象如下，、相交于两点，当，由图有如下情况，若，到的距离比到的距离近，即更远离；若，到的距离比到的距离远，即更远离；若或，、到的距离相同，即、与一样远；若，到的距离比到的距离近，即更远离；当，由，则，所以，即更远离；综上，当或，更远离；当，更远离；当或，、与一样远.【点睛】关键点点睛：第二问，由距离远近的定义，综合运用函数图象及分类讨论研究距离问题.