宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

银川市唐徕中学2023~2024学年度第一学期9月月考高二年级数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.【详解】设倾斜角为，则，则.故选：C.2.已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，其中、，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得的值.【详解】因为三向量、、共面，设，其中、，则，解得.故选：B.3.已知直线：，和直线：垂直，则（）．A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1.【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1，经检验，符合要求. 故选：C4.如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标利用夹角公式求出余弦值即可.【详解】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），∴，，设BD与EF所成角大小为α，则， 即BD与EF所成的角的余弦值为，故选：D.5.已知点、，点关于轴对称的点为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对称性求出点的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得的值.【详解】由于点关于轴对称的点为，则点，由空间中两点间的距离公式得.故选：B.【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了利用对称性求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.6.过点与圆相切的两条直线垂直，则（）A.B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由题意，点到圆心的距离是半径的倍，列方程求解即可.【详解】圆化为标准方程为，圆心坐标为，半径，过点与圆相切的两条直线垂直，则点到圆心的距离为，即，解得.故选：D.7.已知直线与圆相交于A，B两点，且，则数() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的弦长公式即可计算.【详解】设圆C半径为r.由可得，∴圆心，圆心C到直线的距离为，由，得，∴，解得．故选：B．8.若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称，所以的中点满足直线方程，解得，过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，所以解得：，故选：C． 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分．9.已知向量，，，则（）A.向量，的夹角为B.∥C.D.【答案】BC【解析】【分析】对于A，求出，再根据向量夹角的定义判断即可；对于B，只需判断是否成立，即可判断；对于C，只需判断是否成立，即可判断；对于D，根据向量数量积的坐标运算，计算出的值，即可判断.【详解】解：对于A，因为，所以向量，的夹角为，故错误；对于B，因为，，所以，所以∥，故正确；对于C，因为，，所以，所以，故正确；对于D，因为，，所以，故错误.故选：BC.10.已知圆：，直线：，则（）A.直线过定点，坐标为B.直线与圆的位置关系无法确定C.直线被圆截得的最短弦长是D.直线被圆截得的弦长最大时 【答案】AD【解析】【分析】A选项，变形后得到方程组，求出定点坐标；B选项，确定直线所过定点在圆内，从而得到直线与圆的位置关系；C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，由两点间距离公式和垂径定理得到最短弦长；D选项，当直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，将圆心坐标代入直线，得到的值.【详解】A选项，变形，令，解得，故直线过定点，坐标为，A正确；B选项，因为，故在圆内，则直线与圆相交，B错误；C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，由垂径定理得，最短弦长为，C错误；D选项，直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，将代入中，，解得，D正确.故选：AD11.已知圆：，直线：，为直线上的动点，过点作圆的切线、，切点为A、，则下列各选项正确的是（）A.四边形面积最大值为8B.四边形面积的最小值为4C.当最大时，D.动直线一定经过坐标原点 【答案】BCD【解析】【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】因为圆：的圆心，半径为，由圆的几何性质可得，如下图所示：对于选项A、B：由切线长定理可得，且，可知，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，即，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故A错误；当时，四边形的面积取到最小值为，故B正确；对于选项C：因为为锐角，，且，当取到最小值时，则最大，即最大，此时，故C正确；对于选项D：因为为直线：上的动点，设，则，可得，又因为，可知点在以为圆心，为半径的圆上， 圆的方程为，即，又因为圆：，即，两圆方程相减可得：，即直线，所以动直线一定经过坐标原点，故D正确.故选：BCD.12.长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（）A.B.的最大值为0C.面积的最大值为D.三棱锥的体积不变【答案】AD【解析】【分析】建立直角坐标系，设坐标，根据求出参数之间的关系，在依次判断选项正误.【详解】以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示.则设，其中，又，即对于选项A，，因此，故选项A正确； 对于选项B，，，因此无最大值，故选项B错误；对于选项C，，因此面积无最大值，故选项C错误；对于选项D，,因此三棱锥的体积不变，故选项D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆与圆的公共弦长为______．【答案】【解析】【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解【详解】设圆：与圆：交于，两点把两圆方程相减，化简得即：圆心到直线的距离，又而，所以故答案为：14.已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是________．【答案】【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心，由于圆的弦被点平分，故， 得到，由点斜式求解即可.【详解】因为圆：，所以化为标准方程为：，所以圆心.又圆的弦被点平分，故，而直线斜率不存在，所以，由于过点，故直线的方程为：.故答案为：.15.已知圆：，圆上恰有3个点到直线：的距离为，则________．【答案】【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，根据条件可知圆心到直线的距离为，进一步计算即可.【详解】圆：，化为所以圆心为，半径为，因为圆上恰有3个点到直线：的距离为，所以圆心到直线的距离为，则，解得故答案为：16.在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，且，则的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】由圆上的点A两次折叠与圆上的点重合，得圆心坐标，半径，由，推得两圆有公共点，求得m的取值范围.【详解】因为圆上的点A两次折叠与圆上的点重合，所以两次的折痕过圆心，，得，，所以圆心为，该圆半径，由，所以P在以MN为直径的圆上，即两圆有公共点，所以，m的取值范围为.故答案为：.【点睛】将向量数量积为零转化为垂直关系，进而得到点P的轨迹是圆，将问题转化为圆与圆的位置关系.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）若是棱上靠近点的三等分点，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为底面，底面，所以， 又平面，所以平面，又平面，所以，因为，点是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以点到平面的距离为．18.已知的顶点边上的高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为.（1）求顶点坐标； （2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据垂直关系和点在直线上得到方程组，解得答案.（2）计算点C关于的对称点，计算斜率得到直线方程.【小问1详解】设，则有，，即，解得，即；【小问2详解】点C关于的对称点，则，，解得，即，，直线的方程：，整理：.19.如图所示，三棱柱的所有棱长均为1，，为直角．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）取AB的中点D，连接，先证明，，进而由线面垂直以及面面垂直的判定证明即可；（2）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】如图，取AB的中点D，连接，由于三棱柱的所有棱长均为1，故底面是正三角形,因此，由于为直角，故，所以，因为，平面，所以平面.由此得.在直角中,.在中,由,故.又平面，所以平面,平面，故平面平面.【小问2详解】以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，于是，由，所以， ，设是平面的法向量.，取，则.即直线与平面所成角的正弦值为.20.①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆经过点，且________．（1）求圆的标准方程；（2）已知点，求过点的圆的切线方程．【答案】（1）选①：；选②：（2）和【解析】【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解.（2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解.【小问1详解】 解：选①：设圆心，则由题意：∵圆心在直线：上，∴………………………（ⅰ）∵圆过点和，∴，即，化简得：…………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：，∴圆心，半径为，∴圆标准方程为.选②：如下图：设直线：和圆的交点为，连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线，垂足为，连接、.由题意，圆的圆心为，半径.∵直线方程为，，∴直线方程为，故设圆心，由图知，则，由解得直线和直线交点，则， 圆半径，，，由得：，解得：.∴圆心，半径.∴圆的标准方程为.【小问2详解】解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为，如下图，点在圆外，则因为圆的圆心到轴距离，所以，是圆过点的一条切线.设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为：，即.由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有，解得：，∴切线方程为，即.综上知，过点的圆的切线方程为和. 21.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明过程见详解（2）存在；或.【解析】【分析】（1）连接交于，连接，，由已知条件得四边形是矩形，由三角形中位线能证明平面；（2）作于，建立空间直角坐标系，假设存在，设，求出平面与平面的法向量，利用平面与平面夹角的余弦值是求出值，进而求出的长.【小问1详解】连接交于，连接，因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点，又因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】作于，由正三棱柱的性质及面面垂直的性质可知平面，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系.因为，是的中点.所以,假设在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，设，则有，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，所以，易知平面的一个法向量，又因为平面与平面夹角的余弦值是，所以，解得，解得或，所以线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，且或. 22.最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．（1）求两个军事基地的长；（2）若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．【答案】（1）（2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解（2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．【小问1详解】则由题设得：，直线的方程为，，由，且，解得，所以．所以直线的方程为，即，联立方程，解得，即，所以， 即基地的长为．【小问2详解】设爆炸产生的爆炸波圆，由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处，则，，所以，爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立．所以，即，当时，上式恒成立；当时，整理得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．