吉林省四平市普通高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附解析）

四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（）AB.C.D.2.已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°3.已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A.B.C.D.4.已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）A.B.C.D.5.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线 C上的一点，，且的面积为4，则实数（）A.B.2C.D.46.已知圆C：上任意一点关于直线对称点也在圆上.则实数（）A.4B.6C.D.7.已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（）AB.C.D.8.如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）A.B.C.D.10.已知双曲线，则下列说法正确的是（） A.双曲线的实轴长为B.双曲线的焦距为C.双曲线的离心率为D.双曲线的渐近线方程为11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.的周长为B.的面积的最大值为2C.若，则最小值为D.的最小值为12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）A.B.当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.14.已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.15.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为______.16.已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.18.已知点、，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.19.已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．20.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.21.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，斜率分别为，，求的值；（3）证明：直线过定点. 四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程即得.【详解】因为圆的圆心为，则圆圆心坐标是.故选：C．2.已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°【答案】C【解析】【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果. 【详解】易知两点间的斜率，设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得，故该直线的倾斜角为135°.故选：C.3.已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.【详解】令，可得；令，可得.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.因为，所以椭圆的焦点在轴上.设椭圆的方程为，则，，所以椭圆的方程为.故选：C.4.已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求.【详解】由抛物线C：，得焦点，设，所以，由，解得，所以，所以.故选：D.5.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（）A.B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.又，所以，所以为直角三角形，且.设，， 所以，，所以，所以，又，所以.故选：C.6.已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（）A.4B.6C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心.【详解】圆C：的标准方程为，要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则直线经过圆心，即，解得，故选：B7.已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线方程，再用点差法求出直线斜率，最后写出直线方程. 【详解】因为抛物线焦点为，所以，设，，则，，所以，易知，所以，又，所以，所以直线的方程为，即，故选：B8.如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设，易知，则，， 又，所以.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）A.B.CD.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程为或.故选：AC.10.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A.双曲线的实轴长为B.双曲线的焦距为C.双曲线的离心率为D.双曲线的渐近线方程为【答案】BC【解析】 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．【详解】双曲线，则，双曲线的实轴长为，故A错误；双曲线的焦距为，故B正确；双曲线的离心率，故C正确；双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：BC．11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.的周长为B.的面积的最大值为2C.若，则的最小值为D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.【详解】选项A，由椭圆方程可知，，所以周长，故A正确；选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积， 当，即时，即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；选项C，由，点，且，因为，当时，取最小值，且最小值为，故C错误；选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，由得，，解得，如图，当直线与椭圆C相切时，，所以的最小值为.故D正确.故选：ABD.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）A.B.当线段的中点在抛物线上时，点 的坐标为C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：由焦点到准线的距离为2即可验证；对于B选项：设点的坐标为，根据中点坐标公式以及线段的中点在抛物线上即可验证；对于C选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为即可验证；对于D选项：表示出相应的线段长度即可验证.【详解】如下图所示：对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，将其代入抛物线方程得，整理得，所以，因为，所以解得，所以切线的斜率为， 又因为点的坐标为，，所以直线的斜率为，所以，所以，因此C选项符合题意；对于D选项：由C选项分析可知，又，所以有，解得，将其代入切线的方程，解得，所以切点的坐标为，又因为，，，所以，，，，所以，即，因此D选项符合题意.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题AB两选项常规验证即可，对于C选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为，对于D选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解.【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴由，解得：或，∴实数的取值范围是. 故答案为：.14.已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.【详解】由圆和圆，两圆的方程相减，可得，即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：.15.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为______.【答案】25【解析】【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，又由均值不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：2516.已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________. 【答案】【解析】【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果.【详解】如图所示，∵，则，，由双曲线的对称性知：，，又∵，∴四边形为矩形，设，则由双曲线的定义知：，在中，，即：，整理得：，即：，∵，∴，∴设，则由双曲线的定义知：，在中，，即：，解得：，即：，又∵， ∴在中，∴故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.（1）求直线l方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得；（2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求.【小问1详解】法一：由题意得直线l的斜率，故直线l的方程为，即；法二：由两点式方程可得，，化简得.【小问2详解】可设直线m的方程为，由题意得，解得或，故直线m的方程为或.18.已知点、，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程； （2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程；（2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由得，即，整理得，故动点的轨迹的方程为.【小问2详解】解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，∴圆的方程为，∴圆与圆两圆心的距离为，∵圆与圆有公共点，∴，即，且，解得，所以实数的取值范围是.19.已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.【小问1详解】该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，因为关于抛物线的准线的对称点为，所以有；【小问2详解】直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，因此有，则有【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键20.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.【小问1详解】由题意得：，，，解得：，，，双曲线的标准方程为．【小问2详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，，，，，联立方程组，消去整理得，则，原点到直线的距离为，所以，解得或，故或，故直线方程为或 21.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在定点，定值为【解析】【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决；（2），结合韦达定理得，即可解决【小问1详解】由题知，，所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为【小问2详解】设，由，得所以，所以 ，所以，解得，所以存在定点，使得为定值.22.如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；（3）证明：直线过定点.【答案】（1）（2）（3）直线过定点,证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【小问1详解】因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.【小问3详解】 （i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.