黑龙江省佳木斯市四校联考2023-2024学年高二数学上学期11月期中考试试卷（Word版附解析）

2023--2024学年度第一学期四校联考期中考试高二数学试题命题教师：审题教师：考试时间：120分钟注意事项：1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分。第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分）．1．在空间中，下列结论正确的是（　　）A．＝＋B．＝＋＋C．＝＋－D．＝＋2．在直三棱柱中，若，，，则（    ）A．B．C．D.3．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ）A．B．C．D．4．圆上的点到直线距离的取值范围是（    ）.A．B．C．D．5．已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（    ）A．B．C．D．6．圆与圆相交于两点，则等于（    ）A．B．C．D．7．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（    ）A．B．2C．D．8．已知单位向量，，中，，，则（    ）A．B．5C．6D．二、多选题（每小题5分）．9．已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）A．圆M的圆心为B．圆M的直径为10C．圆M被x轴截得的弦长为8D．圆M关于直线对称的圆的方程是10．若，，与的夹角为，则的值为（    ）A．17B．C．D．111．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ）A．始终过定点B．若，则或-3C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限12．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（  ）．A．B．P到最小的距离是2C．面积的最大值为6D．P到最大的距离是9第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分）. 13．已知空间向量，且与垂直，则等于．14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为.15．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为．16．过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为.四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分.）17．已知为圆上一动点，为直线上一个动点．(1)求圆心的坐标和圆的半径；(2)求的最小值．18．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点F到平面AEC1的距离；(2)求平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值.19．已知直线经过点，圆．(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程．20．已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程21．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．22．如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.  (1)求证：∥平面；(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.2023--2024学年度第一学期四校联考期中考试高二数学试题答案1．B【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误，对于D，因为，所以D错误，故选：B2．C【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】由已知得，故选：C3．A【详解】由已知，可设所求直线的方程为：，即，又因为此直线与直线平行，所以：，解得：，所以所求直线的方程为：，即．故选：A．4．A【详解】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，故选：A..5．C【详解】由题意，可作图：则直线l介于与之间，的斜率，的斜率，即直线l的斜率，故选：C.6．B【详解】由圆与圆，将两圆方程相减整理得直线的方程：，又，即，圆心为，半径为，所以到直线的距离为，所以.故选：B.7．A【详解】由椭圆的方程可得，，所以，设，则，由在第一象限可得，即，因为，所以，整理可得，解得或2（舍，即，，所以在中，，故选：A．  8．D【详解】因为，，且，，为单位向量，则.故选：D9．BC【详解】由题意知圆M的一般方程为，故圆的标准方程为，则圆心为，半径为5，则直径为10，A错误，B正确；圆心到x轴的距离为3，故圆M被x轴截得的弦长为，C正确；设圆心关于直线对称的点的坐标为，则，解得，而圆M关于直线对称的圆的半径为5，故圆M关于直线对称的圆的方程为，即，D错误，故选：BC 10．AC【详解】因为，，与的夹角为，所以，解得或.故选AC.11．ACD【详解】：过点，A正确；当时，，重合，故B错误；由，得或2，故C正确；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD12．AD【详解】由椭圆方程可得：，则，对A：根据椭圆的定义可得，A正确；对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，D正确.故选：AD.13．5【详解】因为，且与垂直，所以，解得．故答案为：5.14./【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率故答案为：15．【详解】设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，则，设异面直线与所成角为，所以，所以异面直线与所成角的正弦值为:.故答案为：.16．【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，，  根据椭圆定义，设，则，即，则， 当时，取到最小值．当时，取到最大值．故的取值范围为：.故答案为：.17．【详解】（1）解：由题意，圆的方程可化为，所以圆心的坐标为。。。。。。。。。。。。。2分圆的半径为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分（2）解：圆心到直线的距离为。。。。。。。。。。。。。3分所以，即的最小值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分18．【详解】（1）解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，.∴，，，.。。。。。。。。。。。。。。2分设平面的法向量为，则，∴，∴，取，则，，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分又，∴点到平面的距离为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分（2）解：设平面的法向量为，则，∴，∴，取，则，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.【详解】（1）圆心坐标为，半径为2..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分当直线斜率不存在时，直线的方程为：，与圆相切，满足题意；。。。。。。。。。1分当直线的斜率存在时，设直线为：，即，。。。。。。。。。。。。1分则圆C的圆心到直线l的距离，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分由（1）知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，。。1分则圆心到直线l的距离，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分解得或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分故直线l的方程为或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分20．【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为，设椭圆的标准方程为，且，则①，又椭圆过点，所以②，联立①②解得，所以椭圆的标准方程为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 （2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，设直线的方程为，即，设，则，消去得，所以，又是弦的中点，所以，解得，故直线的方程为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分方法二：中点弦（略）21．【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分22．【详解】（1）因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示，  则，。。。。。。。。。1分所以，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分又，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分因为平面，所以∥平面.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分（2）设，，则，设平面的法向量为，又，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分则，令，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分即，解得或（舍去），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分