江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附答案）

2025届高二年级第一次月考数学试卷9.17一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z＝（1+2i）2﹣3，则z的实部为（　）A．﹣6iB．-6C．4iD．42.设，是两条不同的直线，是两个不同的平而，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3．设，其中a、b为实数，则（    ）A．，B．，C．，D．，4.正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（）A.B.C.D.5.如图，在平行六面体中，．点在上，且，则（  ）A．B．C．D．6.已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（）A.B.C.D.7.已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且侧面PAD垂直底面ABCD,若PD=则该四棱锥外接球的表面积为(　　)A．πa2B．73πa2C．74πa2D．5πa28.如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点C到平面的距离为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（   ）A．z的虚部为2B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限C．z的共轭复数D．10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（    ）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为11.设复数z=1a+bi（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（　）A．z可能是实数B．|z|=|z|恒成立C．若z2∈R，则a＝0D．若z+1z∈R，则|z|＝112.已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点在上怎么运动，都有B.当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为C.若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为D.周长的最小值三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，则向量在向量上的投影数量为14.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形周长是________15.已知圆台的上、下底面的面积分别为侧面积为则这个圆台的体积是16.如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且， 若∥平面，则四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知复数，，若为纯虚数，求的值；（2）已知复数z满足，求a的值.18.（12分）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，满足，，，(1)求线段EF的长度.(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值。19.（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD.(1)证明：AB//平面PCE(2)若直线PB与平面ABCD的夹角为，求二面角A-PD-B的大小。21.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，B＝150°，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求的值．22.（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD1⊥CD．点M为CD1的中点，且CD1＝2BM．（1）证明：平面BDM⊥平面BCD1；（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为，当BD1＞BD时，求直线与平面BCD夹角的余弦值。 2025届高二年级第一次月考数学试卷答案9.17BCDABDBB9.ABD10.CD11.BCD12.ABD13.-214.1415.16.17.（1）-2（2）218.选择为基向量(1)(2)19.【答案】（1）(k∈Z)；（2）．（1）根据题意，代入数量积公式表示出，然后化简得，利用周期计算得，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数的解析式，利用整体法计算值域.（1）由题意可得，，.由题意知，，得，则，由，解得，∴的单调递增区间为．（2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象．∵，∴，故函数的值域为.20.【解析】（1）∵BC//AE且BC=AE，∴四边形BCEA为平行四边形，∴AB//EC，又AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，所以AB//平面PCE.（2）法一，连接BE,过E作PD垂线，交PD于H,用几何方法可以做。法二、用直角坐标系可以求。21.【分析】（I）由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；（II）由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA；根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值，【解答】解：（I）由，∴由正弦定理得a＝c，又△ABC的面积为．∴acsin150°＝，解得c＝2，∴a＝2；（II）由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accos150°，∴b＝2，由正弦定理有＝，∴sinA＝＝；∵B＝150°，∴A＜90°，又由（2）知sinA＝，∴cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝2××＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝2（）2﹣1＝，∴|＝sin2Acos+cos2Asin＝×+×＝22.【答案】（1）证明见解析；（2）【解答】（1）法一、证明：因为点M为CD1的中点，且CD1＝2BM．所以∠D1BC＝90°，则BD1⊥BC，又BD1⊥CD，BC∩CD＝C．所以BD1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以BD1⊥BD，因为∠DAB＝∠ADC＝90°，所以AB∥CD．又AB＝AD＝1，CD＝2，所以BD＝BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，则BC⊥BD．又BD1∩BC＝B，所以BD⊥平面BCD1，又BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面BCD1；法二、建立空间坐标系，同样可以证明（2）解：由（1）可知，BC，BD，BD1，两两互相垂直．以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，B（0，0，0），C（，0，0），D（0，，0），设D1（0，0，a）（a＞），则M（，0，），＝（0，，0），＝（，﹣，），＝（，﹣，0），设平面BDM的一个法向量为＝（x1，y1，z1），由，得，y1＝0，取z1＝1，则x1＝﹣a，则＝（﹣a，0，1），设平面CDM的一个法向量为＝（x2，y2，z2），由，得，取z2＝1，则＝（a，a，1），于是cos＜，＞＝＝﹣，整理得a4﹣a2 +14＝0，解得a2＝4（a2＝＜2舍去）．所以a＝2，即BD1的长为2．为所求角，所以