江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二数学上学期第二次月考试题（Word版附答案）

2024届高二年级第二次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知复数，的共轭复数为，则（    ）A．B．C．D．2．两条平行直线与之间的距离（    ）A．B．C．D．73．已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积（    ）A．B．C．D．4．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A．B．C．D．5．已知，，，若，，共面，则等于（    ）A．B．9C．D．36．已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知圆与圆的公共弦所在直线经过定点P，且点在直线上，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．8．如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为（   ）  A．B．C．D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．下列结论中正确的是（    ）A．若，则或B．若，则C．若复数满足，则的最大值为3D．若（，），则10．下列选项正确的是（    ）A．若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为B．已知向量，则在上的投影向量为C．若，则是锐角D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为211．给出下列命题，其中正确的是（    ）A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面B．若，是两个不共线的向量，且（，，，），则构成空间的一个基底C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则12．如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（    ）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为三、填空题（每小题5分，共20分）13．若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部是．14．如图，在几何体ABCFED中，，，，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，则该几何体的体积为.15．已知实数，满足，则的取值范围为．16．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为. 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知直线过定点，直线的方程为与垂直且过点.(1)求直线的方程；(2)若直线经过与的交点，且直线在轴和轴的截距相等，求直线的方程.18．已知圆：与圆：(1)求经过圆与圆交点的直线方程；(2)求圆与圆的公共弦长.19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，是棱上的一点．  (1)证明：平面平面；(2)已知，若分别是的中点，求点到平面的距离．20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求的面积．21．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．22．如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点．将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥．  (1)证明：；(2)当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2024届高二年级第二次月考数学试卷答案1．A2．C3．C4．B5．A6．C7．A8．A9．BC10．ABD11．CD12．ABD13．14．15．16．/17．(1)；(2)或.【分析】（1）求出定点的坐标，直线的斜率，再利用直线方程的点斜式求解即得.（2）求出直线与的交点坐标，利用直线方程的截距式分类求解即得.【详解】（1）直线化为，由，解得，即，直线的斜率为，则，得直线的斜率为，方程为，即，所以直线的方程为.（2）由，解得，即直线与的交点，设直线的纵截距为，则其横截距也为，当时，直线过原点，斜率为2，方程为，当时，直线的方程为，即，则，此时的方程为，所以直线的方程为或.18．(1)；(2).【分析】（1）判断两圆的相交，再把两圆方程相减即可.（2）利用弦长公式，借助点到直线的距离求解即可.【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，于是，即圆与圆相交，令两圆的交点分别为A，B，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得，则A，B两点的坐标满足，所以AB所在直线方程为．（2）对于圆：，圆心到直线的距离为，所以圆与圆的公共弦长为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再计算距离和角的正弦值.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以．又，，，平面，平面，平面，平面平面．（2）如图所示，建立空间直角坐标系，  ，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，点B到平面的距离．20．(1)的坐标为，的坐标为(2)【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积．【详解】（1）设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为． （2）因为，所以．因为边所在直线的方程为，即，所以点到边的距离为，即边上的高为，故的面积为．21．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.（2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值.【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，直线的斜率为，则，所以．所以，所以，，即，所以圆的标准方程为．（2）设直线，与圆联立方程组，可得，，由根与系数的关系得，，，令，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时，所以的最大值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明面面垂直，即可得出结论；（2）求出平面的法向量，得出直线与平面所成角的余弦值表达式，进而求出正弦值的取值范围.【详解】（1）由题意证明如下，在菱形中，为的中点，，∴，在翻折过程中，恒有，，又，平面，∴平面，而平面，∴（2）由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为，则，以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，  则，，，，，，设平面的法向量，则，得令，得，，则，令，，得，当且仅当时，等号成立，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为，当时，，当时，∵，∴直线与平面所成角的正弦值的范围为 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用空间向量法得到关于线面角正弦值的表达式，设，则得到，再结合换元法和基本不等式求出其最大值，再代入端点得到其最小值，从而得到正弦值范围.