云南省昆明市呈贡区昆三中教育集团2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

机密★考试结束前【考试时间：10月30日8：0010：00】昆明市第三中学高2026届高一年级上学期期中考试数学试卷命题人：俞纲李毅梅注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.设集合，则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：C2.“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用充分必要条件的概念进行正反论证，即可得到答案.【详解】因为当时，可得 而当时，可取，则不满足.所以是的充分不必要条件.故选：C3.已知集合，，则下列说法正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可.【详解】A：显然，，所以本选项不正确；B：显然，，所以本选项正确；C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确；D：因为，，所以本选项不正确，故选：B4.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法判断即可.【详解】因为，则，所以，所以，又，所以，所以.故选：D5.下列表示关于的函数的是（）A.B. C.D.x1234y00－611【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，逐一判断选项的正误即可【详解】对于A，由，解得，所以不是的函数；对于B，当时，有两个与对应，所以不是的函数；对于C，当时，有两个与对应，所以不是的函数；对于D，满足是的的函数.故选：D.6.若命题“”为真命题，则的取值范围是（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】由根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：A7.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）A.B.CD.【答案】B 【解析】【分析】先根据函数偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为为偶函数，所以，所以，且，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，当时，则，故，当时，则，故，综上：解集为.故选：B8.某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A.甲B.乙C.甲、乙一样D.无法确定【答案】B【解析】【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，平均价格为；对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为， 平均价格为.因为，所以，.因此，乙方案的平均价格较低.故选：B.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分．9.已知，则函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果.【详解】根据题意，由指数函数性质可知当时，函数单调递减，且，若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D；当时，函数，图象可能是C；当时，函数单调递增，且，此时交轴正半轴，函数图象可以为B；故选：BCD 10.若，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】对于AD，当时，不成立；对于BC，用作差法比较大小即可.【详解】当时，A错误；因为，所以，所以，所以B正确；因为，所以，所以C正确；当时，D错误；故选：BC.11.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）.A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】判断各选项奇偶性及在上的单调性即可.【详解】A选项，为偶函数，当时，.其在上单调递减，故A错误；B选项，为偶函数，其在上单调递增，故B正确；C选项，为奇函数，故C错误；D选项，为偶函数，其在上单调递增，故D正确.故选：BD12.(多选)已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有（） A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小即可求解.【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点，所以，即,解得，所以，定义域为，设，因为，所以在上单调递增，若，则有，即，故A不正确；设，定义域为，因为，所以在上单调递减，若，则有，即，即，故B、C正确，D不正确；故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设，，若，则_________.【答案】0【解析】【分析】根据集合相等求解实数的值，即可得的值.【详解】解：因为，若，则，所以. 故答案为：0.14.已知，则________．【答案】【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故答案为：15.函数是偶函数，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分析出偶函数在上单调递增，由得出，进而得出，解此不等式即可.【详解】当时，函数，该函数在区间上为增函数，由于函数为偶函数，由得，，不等式两边平方得，，解得.因此，所求的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数不等式的求解，结合分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数奇偶性 和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中等题.16.已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________．【答案】2【解析】【分析】由题意可知，函数在[3，+∞)的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.【详解】由题意可知，函数在[3，+∞)的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，，等号成立的条件是，即x=3，成立，即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)，，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是，所以，解得:1<a≤2，所以实数a的最大值是2.故答案为:2.【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（1）已知集合，求：；（2）计算：．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先根据补集的运算求出，再根据并集的运算求解即可得出答案；（2）根据指数幂的运算，化简求解即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，或， 所以，或.（2）.18.已知函数，设．（1）若的定义域是，求函数定义域；（2）若，求函数解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抽象函数定义域求法可知，解得，即可求得函数定义域为；（2）利用方程组法求得函数的解析式为，代入计算可得.【小问1详解】根据题意，由的定义域是可得，解得，即函数定义域为.【小问2详解】由可知，将替换上式中的可得，联立两式消去可得，所以可得，即函数解析式为. 19.已知函数．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域及单调减区间.【答案】（1）（2）或（3）作图见解析；值域为；单调减区间为，，【解析】【分析】（1）先根据已知求出，即可得出答案；（2）分，，三种情况，分别计算求解，即可得出答案；（3）作出函数图象，根据函数图象，直接写出函数的性质.【小问1详解】由已知可得，，所以，.【小问2详解】当时，由，可得，解得，不满足，舍去；当时，由，可得，解得（舍去），或，所以； 当时，由，可得，解得，满足.综上所述，或.【小问3详解】作图由图象可知，函数的值域为；单调减区间为，，.20.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的范围，去掉绝对值符号，解出不等式，即可得到结果；（2）由（1）可知，原问题转化为，解不等式，即可求出结果.【小问1详解】解：∵ ∴不等式等价于或或∴或∴不等式的解集为.【小问2详解】解：由（1）可知当时，，∴关于的不等式的解集为等价于，∴，解得.∴实数的取值范围为.21.为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.【解析】 【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．【小问1详解】因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，，所以.【小问2详解】当时，，此时，当时，取得最大值万元，当时，，此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.综上所述，由于，最大值为15万元.所以当年产量10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.22.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；（2）若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．【答案】（1）为“局部奇函数”，理由见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.【小问1详解】当时，方程，即有解，解得，所以为“局部奇函数”.【小问2详解】当时，可化为，令，则，从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，令，①当时，在上有解，由，即，解得；②当时，在上有解等价于此时无解则所求实数的取值范围是.令，因为，所以，则，令，对称轴为， 当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；当时，时，取得最小值，，即时，.综上，当时，；当时，.