四川省内江市第六中学2023-2024学年高三理科数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

内江六中高2024届高三开学考试理科数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.【详解】对应的点为，在第四象限，故选：2.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由，，，，得，于是，由，，取，满足，显然“，”不成立，所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）A.10B.15C.20D.30【答案】D【解析】 【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.【详解】因为，，所以，可得，则故选：D.4.执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（）A.B.C.或D.1【答案】B【解析】【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.【详解】由程序框图可得，则， 若，即时，，解得（舍去）；若，即时，，解得故选：B5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，函数，则，当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．故选：C6.若直线：平分圆：的面积，则的最小值为 （）．A.8B.C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：圆：的圆心为，若直线：平分圆：的面积，则直线：过圆心，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：A.7.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（）A.144B.120C.150D.180【答案】C【解析】【分析】将5名老师分为和的两种情况，计算得到答案.【详解】5名老师分为的情况时：共有；5名老师分为的情况时：共有，故共有种不同分派方法.故选：C. 8.设实数x，y满足，则的取值范围为（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】B【解析】【分析】利用三角换元，结合辅助角公式即可得解.【详解】因为x，y满足，令，则，其中，且为锐角，易知，则，于是的取值范围是．故选：B.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.【详解】令，则， 在中，，由余弦定理得，即，解得，于是，在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，所以双曲线离心率.故选：A10.函数，若有个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.【详解】由，可得，解得或，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，所以，且，因此，实数的取值范围是.故选：D.11.设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由正方体性质得面，根据线面垂直的判定定理、性质定理证面 ，确定轨迹图形判断①；若分别为中点，连接，根据线面平行、面面平行的判定证面面，确定轨迹图形判断②；若分别为的中点，连接，同②方式证面面，确定轨迹图形判断③；若分别是的中点，并依次连接，先证面面，结合①得面，确定轨迹图形判断④.【详解】由面，而面，则，又，又，面，则面，由面，则，同理，，面，则面，所以垂直于面所有直线，且面，若，则在边长为的正△的边上，故轨迹图形面积为，①对；若分别为中点，连接，由正方体的性质易得，，所以共面，且为平行四边形，故面即为面，由面，面，则面，同理可得面，，面，所以面面，要使∥平面，则在△边上， 所以轨迹长为，②错；若分别为的中点，连接，显然，所以共面，即面，由，面，面，则面，又，同理可得面，，面，所以面面，故面内任意直线都与面平行，要使∥平面，则在四边形的边上运动，此时轨迹长为，③对；若分别是的中点，并依次连接，易知为正六边形，显然，，由面，面，则面，同理可得面，，面，所以面面，由面，则面，故垂直于面所有直线， 要使，则在边长为的正六边形边上运动，所以轨迹图形面积为，④对；故选：C12.已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集.【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减，因为，所以当时，，当时，.因为当时，，当时，，所以当时，.又，，所以当时，；又为奇函数，所以当时，，所以不等式可化为或，解得，所以不等式的解集为， 故选：D.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.展开式中的系数是__________.【答案】【解析】【分析】根据通项公式可求出结果.【详解】，的通项公式为，，所以展开式中的系数是.故答案为：.14.已知向量，，且，则__________.【答案】【解析】【分析】由，得到，然后由求解.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故答案为： 15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求.【详解】由可得，由于关于原点对称，,关于原点对称，所以四边形为矩形，故，由于又，所以，因此，故，进而可得，所以渐近线方程为：故答案为：16.如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】【解析】【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案.【详解】解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，因为，所以，∥，又因为，，所以，所以,,所以，，所以为二面角的平面角，所以，作于，因为，，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，,则平面，所以∥，则有，即， 由题意可求得：，设，由题上式可得：，求得：，从而求得：，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以，则， 因为，所以，又因为，所以；【小问2详解】因为，所以，又由余弦定理得，，所以，则，所以的周长为：．18.如图，在直三棱柱中，，是的中点，.（1）求证：若为中点，求证：平面；（2）点为中点时，求二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角余弦值.【小问1详解】由于是的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面， 所以平面.【小问2详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，由于，所以，平面的法向量为.设平面的法向量为，所以，令可得，故.设二面角为，由图可知为锐角，.19.下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`分数段频率0.10.150.20.20.150.1*（1）求测试成绩在分数段内的人数； （2）现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；（3）若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望【答案】（1）6（2）2（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小问1详解】某班学生共有人，因为，所以，所以测试成绩在分数段内的人数为人.【小问2详解】由（1）知在分数段内的学生有6人，设男生有人，若抽出2人至少有一名男生的概率为，则，解得，所以在分数段内男生有2人.【小问3详解】在分数段内的学生有人，所以男生有2人，X的取值有， ，，，X的分布列为012.20.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；（2）记的面积为的面积为，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，则， 因此，而，即有，则当，即时，，当，即时，，所以的取值范围是.【小问2详解】显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，由消去并整理得，显然，设，，则，即，令为点，于是的面积为，的面积为，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.21.已知函数在处取得极小值.（1）求实数的值；（2）当时，证明：. 【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值；（2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论.【小问1详解】，由题意知，则，即，由，知，即．故，经检验符合题意；【小问2详解】由（1）得，设，则．设，则在上单调递增，且，所以存在唯一，使得，即．当时，单调递减；当时，单调递增．．设，则，当时，单调递减，所以，所以 ，故当时，．【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法：（1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案；（2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论；（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.四、选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）22.在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.【答案】（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.【小问1详解】 的参数方程为，即（为参数），因为曲线的极坐标方程为，即，所以化简得，所以的直角坐标方程为；【小问2详解】将的参数方程代入的直角坐标方程，得，整理，得，此时，设两点对应的参数分别为，，则，，所以，异号，，所以.23.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，都有成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式即可；（2）利用三角不等式化简条件式得，解不等式即可.小问1详解】当时，， ∴，即为，当时，，解得；当时，，恒成立；当时，，解得．综上，不等式的解集是．【小问2详解】对任意实数x都成立，即恒成立，∵，∴，当，则，当，则，无解；综上，解得，