四川省蓬溪中学2023-2024学年高三理科数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

高2021级第五学期第一次月考数学试卷理科一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知集合，则（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】∵，，∴.故选：C2.下列函数中，与函数表示同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域和值域都为R.对于A选项，函数的定义域为，故与不相同.对于B选项，，定义域、值域都为R，对应关系为，故与相同.对于C选项，函数的值域为，故与不相同.对于D选项，函数定义域为，故与不相同.故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质结合必要不充分条件的判定方法求解即可.【详解】当时，或或，所以“”推不出“”，但是当时，，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理判断．【详解】，，，∴零点在区间上．故选：C．【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础．5.已知命题若幂函数过点，则；命题在中，是的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（    ）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由幂函数的性质判断，由正弦定理判断，再由逻辑联结词的概念判断．【详解】命题，设，∵，∴，则，∴，所以是真命题. 命题，在三角形中，若，由正弦定理得，所以；若，则，由正弦定理得.所以是的充要条件，所以命题是假命题.所以、、是假命题，ABC选项错误.是真命题，故选：D6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数排除C、D，再计算，可排除B，从而可得到答案.【详解】的定义域为，因为，所以在上为偶函数，可排除C、D；又，可排除B.故选：A.7.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化恒成立问题，然后求导得最值即可.【详解】由，可得，记，则，所以在单调递增，所以.故选：C8.若，则下列各式的值等于1的是（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将指数化为对数，然后利用对数运算性质及换底公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，，所以.故选：B.9.已知函数在处有极大值，则的值为（    ）A.1B.2C.3D.1或3【答案】C【解析】【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果.【详解】，，∴或，当时，，令，得或；令，得；从而在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，不合题意，当时，经检验，满足题意； 综上，.故选：C10.已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.【详解】∵为偶函数，∴且的图象关于对称，∵为奇函数，∴的图象关于对称，∴为周期函数，，∵有，∴在上单调性递减，∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：∵，，，∴，故选：D.11.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，即，因为，则，所以，，又因为，则，故，故.故选：A.12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.【详解】图，由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，， 设则，令，故在递增，在递减，.故选：A.二、填空题（每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程是__________【答案】【解析】【分析】求得导函数，即可求得切线的斜率，进而将代入函数解析式可知点在曲线上，即可由点斜式得切线方程.【详解】曲线，则，所以，将代入函数解析式可得，即点在曲线上，所以该函数在点处的切线方程是，即切线方程为．故答案为：.【点睛】本题考查了导数的集合意义，切线方程的求法，属于基础题.14.若，为假命题，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，为真命题，结合判别式即可求得答案.【详解】因为，为假命题， 故，为真命题，故，解得，即的取值范围为故答案为：15.设，则不等式的解集为____________.【答案】【解析】【分析】作出函数图象，由指数函数与对数函数的性质求解．【详解】作出函数图象如图所示，令得：；令得：，由图可得：不等式的解集为，故答案为：.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，则给出以下四个结论：①的值域为；②为偶函数；③在上是减函数；④若方程有且仅有3个根，则的取值范围是. 其中正确的序号为_________．【答案】①③④【解析】【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图像有个交点，然后结合图象即可判断④.【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；∴函数的图像如图所示：对于①，由上面的图像可知，①是正确的，对于②，由上面的图像可知，②是错的，对于③，由上面的图像可知，③是正确的，对于④，由上面的图像可知，，，，因为方程有且仅有3个根，等价于与的图像有个交点， 结合图像可知，当或，故答案为：①③④.三、解答题（共70分）17.已知集合，，.（1）设，，若为真，求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由或命题的概念求解．（2）转化为集合间的关系列式求解．【小问1详解】由题意得真或真，即或，∴的取值范围.【小问2详解】因为，所以，当时，由得：，满足题意；当时，由，有，解得；综上：的取值范围为.18.等差数列的前项和为，满足.（1）求的通项公式；（2）设，求证数列为等比数列，并求其前项和.【答案】（1）； （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前项和公式，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前项和公式，即可得到结果.【小问1详解】设等差数列公差为，∴，解得，∴.【小问2详解】由（1）可得，∴，∴数列为等比数列，首项为，公比为∴19.已知.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）（2）由三角恒等变换公式化简，结合三角函数性质求解，【小问1详解】 令，得∴的单调递增区间为.【小问2详解】当时，，，∴，．20.设.（1）求在上的最值；（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.【答案】（1）最大值2，最小值（2）.【解析】【分析】（1）求导得到的单调性，然后求最值即可；（2）分在曲线上和不在曲线上两种情况讨论，当不在曲线上时，将过点可作曲线的三条切线转化为的图像与轴有三个不同交点，然后根据的单调性列不等式即可.【小问1详解】由题：，，令得，列表得：01202 ∴，.【小问2详解】若在曲线上，则，，当切点为时有一条，设切点为，则，整理得，解得，所以过点可作曲线的两条切线，不合题意，舍.若不在曲线上，则不是切点，设切点为，∵过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不等实根，即方程有三个不等实根，∴的图像与轴有三个不同交点，∵，∴在，上单调递增，上单调递减，∴且，∴，∴的取值范围为.21.设，.（1）当时，求的极值；（2）若有恒成立，求的取值范围；（3）当时，若，求证：.【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导得到的单调性，然后根据单调性求极值即可；（2）将恒成立转化为，然后分和两种情况讨论最大值即可求解；（3）将证明转化为证明，然后构造函数，求导得到，即可得证.【小问1详解】的定义域为由题：，，令，解得或，令，解得，∴在，上单调递增，上单调递减，，.【小问2详解】由题：，欲使恒成立，只需，当时：∵，时，，时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，得，此时，；当时：若即，令，解得或，令，解得， 则在，上单调递增，上单调递减，若即，，则在上单调递增，若即，令，解得或，令，解得，则在，上单调递，上单调递减，不论上述哪种情况，均有，因此，不可能有恒成立，舍.综上：的取值范围为.【小问3详解】由（2）的结论可知：当时：在上单调递增，上单调递减，∵，∴由图，不妨设，欲证①，只需证，即证，即证，即证，即证②，设， ，，，，又∵，，，，，在上单调递减，，∴②成立，∴①成立.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.四、选做题（共10分） 22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线交曲线于两点，交轴于点，求的值．【答案】（1）曲线：，直线：（2）【解析】【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数可得直线l的普通方程，根据公式化简曲线C的极坐标方程可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，根据直线参数方程中的几何意义即可求解.【小问1详解】直线的参数方程（为参数），消去参数，可将直线的参数方程转化为普通方程为，将两边同乘，得，根据得曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】将代入中， 可得，化简得，设两点对应参数分别为，则，，由题意得，且在直线上，又异号，∴.23.已知函数．（1）求解集；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用分区间讨论的方法，去掉绝对值符号，化简函数的表达式，进而将转化为3个不等式组求解，即得答案；（2）结合（1）中的表达式，确定M的值，利用河西不等式即可求得答案.【小问1详解】，故等价于或或，解得，不等式的解集为；【小问2详解】当时，；当时，；当时，，故函数的的最小值为，即 利用柯西不等式可得，即，当且仅当时等号成立，结合，即当时，取得最小值4.