四川省射洪中学2023届高三理科数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

射洪中学高2020级高三下期第一次月考理科数学试题注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数值域得，再根据交集的含义即可得到答案.【详解】根据指数函数值域可知，表示的集合为，故选：C.2.复数，则（）AB.C.2D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数运算规则计算即可.【详解】，； 故选：C.3.在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.【详解】解：由可得，由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.故选：B.4.已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】，渐近线方程是，故选C,5.某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A.该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B.该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C.该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍D.该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍【答案】D 【解析】【分析】设该地区2019年销售收入为，则由销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，该地区2021年销售收入为，然后逐项分析即可.【详解】设该地区2019年销售收入为，则由销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，该地区2021年销售收入为，选项A：该地区2021年的销售收入是2019年的4倍，故选项A正确；选项B：由图可得该地区2021年的医疗产品收入为，该地区2019年的医疗产品收入为，该地区2020年的医疗产品收入为，由，故选项B正确；选项C：该地区2021年的其他收入为，2020年的其他收入为，所以该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍，故选项C正确；选项D：该地区2021年的其他收入为，2019年的其他收入为，所以该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的12倍，故选项D不正确.故选：D.6.在中，，是边上的中线，且，，则（）A.B.5C.D.8【答案】B【解析】 【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意如图所示：由，所以又，所以为的中点，所以，所以，故选：B．7.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】首先还原几何体，并得到最长侧棱，根据线面角的定义，求线面角的正切值.【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，，，，侧棱，，,，所以最长的侧棱是,与底面所成的角是， 故选：C8.已知正项等比数列前n项和为，且是与的等差中项，若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据条件得到关于的方程，解出，则可得到等比数列通项和其前项和，一一代入判断即可.【详解】设等比数列的公比为，由题得，即，代入得，化简得，解得或（舍去），故，则，所以，对A，，故A正确，对B，，故B错误，对C，，故C错误，对D，，故D错误，故选：A.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的一条对称轴为 B.的一个对称中心为C.在上的值域为D.的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】C【解析】【分析】化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.【详解】，因为，故不是对称轴，故A错误.，不是的一个对称中心，故B错误.当时，，故，所以，即在上的值域为，故C正确.的图象向右平移后对应的解析式为，当时，此时函数对应的函数值为，而，故与不是同一函数，故D错误.故选：C.10.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据： ）（）A.10分钟B.9分钟C.8分钟D.7分钟【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果.【详解】将所给数据代入得，，即，所以当水温从75°C降至45°C时，满足，可得，即分钟.故选：A.11.已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（）A.1B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合可求的值.【详解】如图， 设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，则.根据抛物线定义知,,又，所以，设，因为，所以，则.所以,，又,可得,所以，所以,可得,即.故选：.12.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（）A.B.0C.2D.2023【答案】B【解析】【分析】由已知条件结合函数奇偶性的定义可求得函数的周期为4，利用赋值法可得，再结合周期可求得结果.【详解】因为为偶函数，所以，所以，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数，由，令，得，则，又，得， 由，令，得，则，由，令，得，则，所以.故选：B．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.二项式展开式中的含项的系数为___________．【答案】-40【解析】【分析】根据二项式定理写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.【详解】二项式展开式的通项为，令，则.故答案为：.14.设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据是假命题，得到是真命题，利用恒成立求解.【详解】解：因为是假命题，所以真命题，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的取值范围是，故答案为：15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且的面积为，则内切圆的半径为_________.【答案】##【解析】【分析】根据余弦定理、三角形面积公式、三角形内切圆半径公式进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，由余弦定理可知，设内切圆的半径为，则有，故答案为：16.设点是棱长为的正方体表面上的动点,点是棱的中点,为底面的中心,则下列结论中所有正确结论的编号有______________．①当点在底面内运动时,三棱锥的体积为定值;②当点在线段上运动时,异面直线与所成角的取值范围是;③当点在线段上运动时,平面平面; ④当点在侧面内运动时,若到棱的距离等于它到棱的距离,则点的轨迹为抛物线的一部分.【答案】①③④【解析】【分析】对于①,根据点到平面的距离即为点到平面的距离为即可判断;对于②,异面直线与所成角即为直线与所成角,转化为在中,与所成角即可判断;对于③,根据为底面的中心和正方体的性质,证明得平面即可得到结论;对于④,点在侧面内运动时,根据平面,则到棱的距离等于的距离,结合抛物线定义即可判断;【详解】对于①,当点在底面内运动时,点到平面的距离即为点到平面的距离为,则,故①正确;对于②,如图:点在线段上运动时,因为,所以异面直线与所成角即为直线与所成角.因为,所以为等边三角形,当点在线段的中点时,,即直线与所成角为,当点向两个端点运动时,直线与所成角越来越小,当点与点或点重合时,直线与所成角为, 所以直线与所成角的取值范围是,即异面直线与所成角的取值范围是,故②错误;对于③,如图:为底面的中心,,平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,平面平面,故③正确;对于④,点在侧面内运动时,平面,到棱的距离等于的距离,到棱的距离等于它到棱的距离即为点到的距离等于点到棱的距离,根据抛物线的定义,又点在侧面内运动,点的轨迹为抛物线的一部分.故答案为:①③④.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． 17.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；（2）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算对应的频率即为所求概率；（2）用频率估计概率，可知，利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布数学期望公式可求得.【小问1详解】由频率分布直方图知：人中，一周参加课后活动的事件位于区间的频率为，用频率估计概率，全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为.【小问2详解】用频率估计概率，从全校学生中随机抽取人，则该人一周参加课后活动的事件在区间的概率，，则所有可能的取值为， ；；；；的分布列为：数学期望.18.已知数列的前n项和为（1）证明：数列{}为等差数列；（2），求λ的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．【小问1详解】，∴，∴，∴，又∵，∴，所以数列是以为首项和公差的等差数；【小问2详解】由(1)知：，所以， ∴，∴，又满足上式，∴，因为，所以，所以，记，又在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，所以，所以的最大值为．19.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点．（1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）点在平面内，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、 轴建立空间直角坐标系，求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】解：连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，，又，得，，所以，所以、、、四点共面，即点平面内．【小问2详解】解：由（1）可得，设平面的法向量，由，得，令，则，，所以，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．20.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求【小问1详解】由条件可知，，解得：，，所以椭圆C的方程是；【小问2详解】假设在轴上存在点，使且，联立，设，，方程整理为， ，解得：或，，，则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，即中点坐标，，则，即，化简为，①又,则，，整理为，，化简为②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.当时，，当时，，满足，所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.21.已知函数.（1）求证：有且仅有2个零点；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先求出函数的单调区间，得到在上存在唯一零点，在上存在唯一的零点，即得有且仅有2个零点；（2）设，，证明，令，得，得到，，，…，，相加化简即得.【详解】解：（1）由题意，函数的定义域为.则.令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，而，故在上存在唯一零点，因为，，故在上存在唯一的零点，综上所述，有且仅有2个零点.（2）设，，则，可得当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.即（当且仅当时，取等号）. 令，得（，当且仅当时，取等号）所以依次令，得到，，，…，所以即【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值． 【答案】（1）C：，直线l：（2）【解析】【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【小问1详解】曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．【小问2详解】直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集； （2）设且最小值为m，若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分段讨论求解，（2）由绝对值三角不等式求最小值，再由基本不等式求解，【小问1详解】当时，，故即或或，解得，即原不等式的解集为【小问2详解】由题意得，即，，即，而，当且仅当即时等号成立，故的最小值为