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四川省广安第二中学2023-2024学年高三理科数学上学期第一次月考试题(Word版附解析)
四川省广安第二中学2023-2024学年高三理科数学上学期第一次月考试题(Word版附解析)
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广安二中高2021级2023年秋季第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.1.已知集合,,则()A.B.C.D.[1,2]【答案】C【解析】【分析】根据交集运算律求解即可.【详解】.故选:C.2.复数为虚数单位)的虚部为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由虚数的定义求解.【详解】复数的虚部是-1.故选:B.【点睛】本题考查复数的概念,掌握复数的概念是解题基础.3.在等差数列中,,直线过点,则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项的性质求出公差,即可求出通项公式,表示出,即可求出结果.【详解】因为是等差数列,,令数列的公差为, 所以,,则,所以,则直线的斜率为.故选:A4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数,它平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【答案】B【解析】【详解】试题分析:由命题的否定的定义知,“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数,它的平方不是有理数.考点:命题的否定.5.苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期,苂光信号强度达到阀值时,DNA的数量与扩增次数满足,其中为DNA的初始数量,为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后,数量变为原来的100倍,则扩增效率约为()(参考数据:)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,得出方程,结合对数的运算性质,即可求解.【详解】由题意,可得,即,所以,可得,解得.故选:C. 6.五名学生按任意次序站成一排,则和站两端的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先和排两端,再将其余三人全排列,共有种情况,将五名学生按任意次序站成一排,共有种情况,再利用古典概型公式求解即可.【详解】首先将和排两端,共有种情况,再将其余三人全排列,共有种情况,所以共有种情况.因为五名学生按任意次序站成一排,共有种情况,故和站两端的概率为.故选:B7.化简的结果是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正余弦的二倍角公式化简即可.【详解】原式化简为.故选:D.8.已知函数是定义在上的奇函数,且,,则()A.B.0C.3D.6 【答案】A【解析】【分析】由函数为奇函数可得,,再根据求出函数的周期,再根据函数的周期即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数,所以,,因为,所以,则,所以,所以是以为周期的一个周期函数,所以.故选:A.9.函数的图象可能是().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为定义域为,且,所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故B,D都不正确; 对于C,时,,,所以,所以,故C不正确;对于选项A,符合函数图象关于原点对称,也符合时,,故A正确.故选:A.10.已知函数的图像关于点中心对称,则()A.在区间上单调递增B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线切线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,求出函数的解析式,再逐项分析判断作答.【详解】因为函数的图象关于点中心对称,即,则,而,有,则,对于A,当时,,而正弦函数在上单调递减,因此函数在上单调递减,A不正确;对于B,当时,,而正弦函数在上只有1个极值点,因此函数在有唯一极值点,B错误;对于C,因为,因此直线不是函数图象的对称轴,C错误;对于D,直线过点,并且,即点在曲线上, 由,求导得,显然,因此曲线在处的切线方程为,即,D正确.故选:D11.已知函数,函数有6个零点,则非零实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出函数的图像,原问题转化为函数与共有6个交点,等价于与有三个交点,结合图像得出其范围.【详解】作出函数的图像如下:数,且函数有6个零点等价于有6个解,等价于或共有6个解等价于函数与共有6个交点,由图可得与有三个交点,所以与有三个交点则直线应位于之间,所以故选:B.【点睛】方法点睛:数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后数形 结合求解.12.若直线与函数图象交于不同的两点,且点,若点满足,则A.B.2C.4D.6【答案】C【解析】【分析】先判断是奇函数,再根据直线过原点,得到点A,B关于原点对称,将,转化为求解.【详解】∵,∴是奇函数,又直线过原点,∴点A,B关于原点对称,∵,∴,∴,∴,解得,∴,故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.计算:______.【答案】【解析】【分析】根据指数幂和对数运算公式,化简求值. 【详解】原式.故答案为:14.若直线是函数的图象在某点处的切线,则实数_________.【答案】【解析】【分析】利用求得切点坐标,代入切线方程,从而求得.【详解】令,解得,所以切点为,将代入切线得.故答案为:15.由曲线围成的图形的面积为______.【答案】【解析】【分析】曲线围成的图形关于轴,轴对称,故只需要求出第一象限的面积即可,结合圆的方程运算求解.【详解】将或代入方程,方程不发生改变,故曲线关于轴,轴对称,因此只需求出第一象限的面积即可,当,时,曲线可化为:,表示的图形为以为圆心,半径为的一个半圆,则第一象限围成的面积为,故曲线围成的图形的面积为. 故答案为:.16.已知和是函数的两个不相等的零点,则的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据零点确定两个方程,用比值换元法转化为单变量,从而利用求导和二次求导即可.【详解】和是函数两个不相等的零点,不妨设,,两式相减得,令,,,令,所以,令恒成立,在是单调递增,恒成立, 在是单调递增,恒成立,,,故答案为:.【点睛】本题考察导数双变量和构造函数证明不等式的方法.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明或演算过程.17.如图所示,角的终边与单位圆交于点,将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.(1)求;(2)若的内角,,所对的边分别为,,,,,,求.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义及诱导公式直接得解;(2)由已知可得,再利用余弦定理可得,进而可得面积.【小问1详解】由题知,, 所以;【小问2详解】由题知,,,,且,所以,而,则,故,由正弦定理可知,整理得,解得,故,或.18.“双减”政策执行以来,中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况,从全校学生中随机选取人,统计了他们一周参加课后活动的时间(单位:小时),分别位于区间,,,,,,用频率分布直方图表示如下,假设用频率估计概率,且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率;(2)从全校学生中随机选取人,记表示这人一周参加课后活动的时间在区间的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图计算对应频率即为所求概率; (2)用频率估计概率,可知,利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率,由此可得分布列;根据二项分布数学期望公式可求得.【小问1详解】由频率分布直方图知:人中,一周参加课后活动的事件位于区间的频率为,用频率估计概率,全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为.【小问2详解】用频率估计概率,从全校学生中随机抽取人,则该人一周参加课后活动的事件在区间的概率,,则所有可能的取值为,;;;;的分布列为:数学期望.19.如图,四棱锥中,,,,,与交于点,过点作平行于平面平面.(1)若平面分别交,于点,,求的周长;(2)当时,求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)4(2).【解析】【分析】(1)依题意可得,再根据面面平行的性质得到,,,根据三角形相似的性质计算可得;(2)首先证明平面平面,取的中点,即可得到平面,再建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得.【小问1详解】由题意可知,四边形是直角梯形,∴与相似,又,∴,,因为过点作平行于平面的面分别交,于点,,即平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,由面面平行的性质定理得,,,所以与相似,相似比为,即,因为的周长为6,所以的周长为.【小问2详解】∵平面平面,∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等,∵,,,∴,∴,又,,平面,∴平面,平面,∴平面平面,取的中点,因为为等边三角形,∴,平面平面, 平面,∴平面,以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点与平行的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的法向量,则,即,取,则,∵平面,∴是平面的一个法向量,设平面与平面夹角为,则,所以,所以平面与平面夹角的正弦值为.20.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点作直线l交C于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,定点.【解析】【分析】 (1)根据题意,列出方程组,即可求得a,c的值,根据a,b,c的关系,即可求得b的值,即可求得答案;(2)当直线l不与x轴重合时,可设直线l的方程为:,与椭圆联立,根据韦达定理,可得的表达式,代入所求,化简整理,即可得结果;当直线l与x轴重合时,可求得P,Q坐标,可得的表达式,经检验符合题意,综合即可得答案.【详解】(1)由题意得:,解得,又,所以椭圆C的方程为:.(2)当直线l不与x轴重合时,可设直线l的方程为:,,联立直线与曲线方程,整理得:,则,,假设存在定点,使得为定值,则=.当且仅当,即时,(为定值),这时,当直线l与x轴重合时,此时,,,, ,当时,(为定值),满足题意.所以存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有(恒为定值).【点睛】解题的步骤为(1)设直线,(2)与曲线联立,得到关于x(y)的一元二次方程,(3)根据韦达定理,求得()的表达式,(4)代入所求,化简整理,即可得答案,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.21.已知函数,.(1)求函数的极小值;(2)证明:当时,.【答案】(1)当时,无极小值;当时,取极小值为.(2)证明见解析【解析】【分析】(1)首先根据题意得到,再利用导数分类讨论求解极限值即可.(2)首先将题意转化为证明,再分类讨论对,和的情况进行证明即可.【小问1详解】∵,,∴,所以,.当时,即时,,函数在上单调递增,无极小值;当时,即时,令,解得,函数在上单调递减; 令,解得,函数在上单调递增.∴时,函数取得极小值.综上所述,当时,无极小值;当时,取极小值为.【小问2详解】令,.当时,要证,即证,即,即证,①当时,令,,所以在上单调递增,故,即.∴,令,,当,,在上单调递减;,,在上单调递增.故,即,当且仅当时取等号,又∵,∴,由上面可知:,所以当时,.②当时,即证.令,,可得在上单调递减,在上单调递增,,故.③当时,当时,, 由②知,而,故,当时,,由(2)知,故;所以,当时,.综上①②③可知,当时,.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(1)求曲线的直角坐标方程;(2)已知点,直线的参数方程为(为参数,),且直线与曲线交于A、两点,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据参数方程消参即可得出直角坐标方程;(2)转化直线的参数方程与曲线方程联立,结合韦达定理计算即可.【小问1详解】曲线的参数方程为为参数), 则,即,两式相减,可得曲线的直角坐标方程:小问2详解】直线与曲线交于A、两点,设A,两点对应的参数为,,直线的方程可转化为,代入,得,则,则,所以.23.设函数.(1)解不等式,(2)若关于的方程没有实数根,求实数的取值范围【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)分类讨论x的取值范围,脱掉绝对值符号,即可求解;(2)将没有实数根,转化为没有实数根,求出函数的最小值,结合题意可得不等式,即可求得答案.【小问1详解】当时,恒成立,. 当时,,得;当时,不成立.综上,原不等式的解集为;【小问2详解】方程没有实数根,即没有实数根,令,则,当且仅当时,即时等号成立,即值域为,若没有实数根,则,即,
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高中 - 数学
发布时间:2023-10-31 10:25:02
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