四川省广安第二中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2023年秋高2022级第一次月考数学一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内，复数，则对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的定义可得，再结合复数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，即对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知点，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：，又因为所以，故选：B.3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由空间直角坐标系中，点的对称性可得出结果.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是.故选：A. 4.在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A4B.C.2D.不确定【答案】A【解析】【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A5.甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人各射击一次，均没中靶的概率是（    ）A0.6B.C.D.0.3【答案】D【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲不中靶概率为，乙不中靶概率为，因此两人均没中靶的概率为，故选：D6.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：）， 数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为（）A.71B.75.5C.79D.72【答案】C【解析】【分析】根据极差求得m的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案.【详解】由题意得，数据的极差为40，因为数据中最小值为41，故m应为最大值，为81，则，将数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，从小大大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，故这组数据第m百分位数为79，故选：C7.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先用表示，然后由可得结果.【详解】因为，所以，因为， 所以，故选：A8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，设平面的法向量， 则，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故选：C.二.多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分)9.下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】结合特殊角的三角函数值以及诱导公式逐项分析即可求出结果.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确，故选：CD.10.为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分）．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是（） A.甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值B.甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值C.甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值D.甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平【答案】AD【解析】【分析】直接由六维能力雷达图读取数据辨别即可.【详解】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值高于甲的直观想象能力指标值，故选项B错误；对于C选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不高于甲的直观想象能力指标值，所以选项C错误.对于D选项，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平高于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项D正确；故选：AD.11.已知向量，则（）A.B.C.D.【答案】CD 【解析】【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,，，故A错误；对于B，，则，故B错误；对于C,，则，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选:CD.12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（）A.B.存在点，使平面C.存在点，使直线与所成的角为D.点到平面与平面的距离和为定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设， ，设，，所以，所以，A选项正确.点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为，则，，无解，所以C选项错误.故选：ABD三、填空题(本题共4小题，满分20分，每小题5分)13.某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，这组数据的众数为___________．【答案】97【解析】【分析】根据给定条件，利用众数的意义求出众数即得.【详解】在10次数学检测成绩中，93、94、95各有2次，96有1次，97有3次， 所以这组数据的众数是97.故答案为：9714.经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝____.【答案】4【解析】【详解】由题意，得tan45°＝，解得a＝4.15.已知向量，,则向量在向量方向上投影向量的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】向量在向量方向上投影向量为，故答案为：16.若，则三棱锥的体积为___________．【答案】【解析】【分析】运用空间向量夹角公式可求得，进而可求得，再运用点到面的距离公式可求得点C到平面的距离，结合锥体体积公式即可求得结果.【详解】因为，，，所以，，，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以，所以点C到平面的距离为，所以三棱锥的体积为.故答案为：.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．（1）求直线BC，AC的斜率和倾斜角；（2）若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．【答案】（1）直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为（2）【解析】【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．【小问1详解】由斜率公式得：，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；【小问2详解】 如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．18.在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，.（1）用，，表示，；（2）求证：，，，四点共面.【答案】（1）,（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案.（2）用向量分别表示出，从而可得，从而可证.【小问1详解】，分别是，的中点，则且所以，，分别是，的中点，则且【小问2详解】， ，，∴，从而，，，四点共面．19.从甲､乙两块小麦地各拔出10株小麦幼苗，分别测得它们的株高如下(单位：)甲：乙：（1）分别计算甲、乙两块地小麦的平均株高；（2）甲､乙两块地小麦中，哪块地的小麦幼苗长得整齐？【答案】（1）25，25（2）乙地的小麦幼苗长得整齐【解析】【分析】（1）由平均数的计算公式直接计算即可.（2）分别计算两组数据的方差，比较即可得出结论.【小问1详解】由题意，，.【小问2详解】，，因为，所以乙地的小麦幼苗长得整齐．20.如图，在长方体中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：；（2）求到平面的距离；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可证明；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到面的距离公式，即可得到结果.【小问1详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，又，不在同一条直线上，. 【小问2详解】设平面的法向量，又，则，令，则，∴，又，所以到平面的距离为.21.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率，并补全频率分布直方图；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【答案】（1）；直方图答案见解析（2）【解析】【分析】（1）计算第六组的频率，再根据频率和为1求解第七组的频率，再求解频率/组距即可；（2）根据古典概型方法，列举基本事件分析满足条件的事件数求解即可.【小问1详解】第六组的频率为，频率/组距为0.016；∴第七组的频率为，频率/组距为0.012. 【小问2详解】第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．22.在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求与平面所成角的大小；（2）在线段上是否存在点（不与端点重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的大小. （2）设，用表示平面和平面的法向量后可求的值，从而可求两条线段的比值.【小问1详解】在中，因为，故，故在四棱锥中，有，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系：在中，因为经过的重心G（如图），连接并延长，交于H，则，故，因为，故，在中，，则，故，故，又，设平面的法向量为，则，即，取，则，故，故， 故与平面所成角的正弦值为，因为与平面所成角为锐角，故该角为.【小问2详解】设，则，故，又，设平面的法向量为，则，即，取，则，故，设平面的法向量为，则，即，取，则，故，因为平面平面，故，所以，故，所以.