四川省成都市彭州市2023-2024学年高三数学（文）上学期期中考试试题（Word版附答案）

彭州市2023～2024学年度上期高三期中教学质量调研文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，，则A．B．C．D．2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A．B．C．D．3.已知命题，不是素数，则为A．，是素数B．，是素数C．，是素数D．，是素数4已知等差数列的前n项和为，，则数列的公差为A．1B．2C．3D．45.已知向量，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．2023年“三月三”期间，四川交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率[同比增长率=（今年车流量去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％）]数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是 A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次7．已知函数，的部分图象如图所示，则A．B．C．1D．8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）A．B．C．D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1斜率为的直线与C的右支交于点P，若线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，则C的离心率为A．B．C．2D．310．已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有5个零点，则实数m的取值范围是A．[1,1.5)B．[1.5,2)C．[2,2.5)D．[2.5,3)11．已知，则不等式的解集为A．B．C．D．12．已知，对任意，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数则______． 14．已知数列满足，且，则______．15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A(5,4)射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则______．16．已知正数a，b满足（e为自然对数的底数），有下列三个关系式：①②③其中正确的是______（填序号）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，求的面积．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E，F分别为CD，PA的中点．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．19．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好 合计（2）为了进一步分析学生成绩，从A学科不够良好的学生中采用分层抽样的方法抽出6人，最后从这6人中随机选出2人进行访谈，求其中恰有1人为B学科良好的概率。附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点在椭圆C上，且.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当时，求的面积．21．（12分）已知函数．（1）当时，求函数在区间[1,2]上的最大值；（2）若存在极大值点，且，求的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求的长度．23．（10分）已知．（1）当时，求不等式的解集； （1）彭州市2023～2024学年度上期高三期中教学质量调研（2）文科数学参考答案及评分标准（3）（4）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112AADBBCDDDABC（5）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（6）13．214．15．16．①②③（7）三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（8）17．（12分）（9）解：（1），（10）由正弦定理得，…………………………2分（11），可得，，即．………………4分（12），所以；…………………………6分（13）（2）解法1：由正弦定理，（14），…………………………8分（15）可得，，……9分（16），，所以，…………………………10分（17）的面积为．…………………………12分（18）解法2：因为，且， （1），…………………………7分（2）可得，（3），（4），…………………………9分（5）（6），，可得，，（7），，（8），由余弦定理得，即，（9）解得，即，…………………………10分（10）的面积为．………………………12分（11）18．（12分）（12）解：（1）方法一：综合法——平行平面的性质（13）取的中点，连结，（如图），……..1分（14）由E，F分别为，的中点及中位线定理得，，，……………2分（15），，，，（16），．（17）又，，，（18）．…………………………4分（19），（20）．…………………………6分（21）方法二：综合法——直线与平面平行的判定（22）连结延长交的延长线于，连结，…………1分（23），即，又，（24），……………………3分（25）又，，……………………4分（26），， （1）．……………………6分（2）（2）方法一：，（3），，（4）又，，，，（5），（6）点到平面的距离为，……………………………8分（7），，（8），（9），到平面等距，故三棱锥的高为2，……………………………9分（10）又，……………………………10分（11）；……………………………12分（12）方法二：连结，由，得：，（13）（14），（15），（16）在中，，由余弦定理得：，…8分（17）即，（18），（19），，（20），，……………………………9分（21），，（22）……………………………10分（23）……………12分 （1）19．（12分）（2）解：（1）由直方图可得学科良好的人数为（人），…1分（3）所以列联表如下：B学科良好B学科不够良好合计A学科良好403070A学科不够良好102030合计5050100（4）………………………4分（5）假设：学科良好与学科良好无关，（6），………………5分（7）所以有95%把握认为学科良好与学科良好有关；………………………6分（8）（2）由题意知，学科不够良好的学生中，学科良好和不够良好的学生比为（9）所抽学科良好人数为2人，学科不够良好人数为4人，………………………7分（10）记“其中恰有1人为学科良好”为事件，（11）设学科良好为，，学科不够良好分别为，，，，（12）则所有结果为共15种．事件包含的基本事件为共8种；………………………11分（13）由古典概型的概率公式得：．………………………12分（14）（15）20．（12分）（16）解：（1）由题意知，，（17）又，则，，………………………1分（18），解得(负值舍去)，………………………3分 （1）由在椭圆上及得，解得，………………………4分（2）椭圆的方程为；………………………5分（3）（2）由（1）知，右焦点为，（4）据题意设直线的方程为，，，（5）则，，（6）于是由得，化简得（*）……………………7分（7）由，消去整理得，（8），（9）由根与系数的关系得：，，（10）代入（*）式得：，解得，（11）直线的方程为，………………………9分（12）方法一：，，，（13）由求根公式与弦长公式得：，……………………10分（14）设点到直线的距离为，则，……………………11分（15）……………………12分（16）方法二：由题意可知（17），……………………10分（18）代入消去得， （1），，，……………………11分（2）．…………………………12分（3）（4）21．（12分）（5）解：（1）已知，函数定义域为，（6）当时，，（7）可得，……………………2分（8）当时，，……………………3分（9）所以函数的在区间[1,2]上单调递增，……………………4分（10）则当时，函数取得最大值，最大值；……………………5分（11）（2）易知，（12）若，（13）当时，，单调递减；（14）当时，，单调递增，（15）所以当时，函数取得极小值，不符合题意；…………………………7分（16）若，（17）令，（18）解得或，（19）当，即时，（20）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，（21）所以当时，函数取得极小值，不符合题意；……………………………8分（22）若，即时， （1）当时，，单调递增，（2）当时，，单调递减；（3）当时，，单调递增，（4）所以当时，函数取得极大值，（5）若存在极大值点，且，（6）则且，符合题意；…………………………9分（7）若，即时，（8）当时，，单调递增；（9）当时，，单调递减；（10）当时，，单调递增，（11）所以当时，函数取得极大值，（12）此时且，（13）解得，…..11分（14）综上，满足条件的的取值范围为．…………………………12分（15）22．（10分）（16）解：（1）曲线的极坐标方程为：，…………………………2分（17）曲线的普通方程为：，，…………………………4分（18）曲线的极坐标方程为；…….5分（19）（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，………………7分（20），…………………………10分（21）23．（10分）（22）解：（1）方法一：当时，，（23）①，无解； …………………………1分（1）②，解得；…………………………3分（2）③，解得；…………………………4分（3）综上：原不等式的解集为；…………………………5分（4）方法二：原不等式等价于：，…………………………1分（5）由绝对值的几何意义知的几何意义为：（6）数轴上实数对应的点到所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，………………3分（7）又的解为，…………………………4分（8）原不等式的解集为；…………………………5分（9）（2）当时，，（10）原不等式等价于：，即，则，…………6分（11），故，解得，…………………………9分（12）的取值范围为．……10分