四川省广安第二中学2023-2024学年高三文科数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

广安二中高2021级高三上学期第一次月考数学（文科）（满分150分，120分钟完成）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知集合，则（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解法，求得，结合补集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，根据补集的概念及运算，可得或.故选：D.2.已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】， 所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出，即可求出结果.【详解】因为是等差数列，，令数列公差为，所以，，则，所以，则直线的斜率为.故选：A5.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图． 根据统计图分析，下列结论最恰当一项为（）A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C.2022年1月至4月制造业逐月收缩D2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张【答案】D【解析】【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与比较，即可得到答案.【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于，故A项错误；对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于，故B项错误；对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于，故C项错误；对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过，故D项正确.故选：D.6.在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，再由，可得，从而可得，进而可得结论【详解】解：因为， 所以由正弦定理可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以为等腰三角形，故选：B7.在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.【详解】取的中点，连，，，则，，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，设正方体的棱长为，则，，则.所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为. 故选：C8.函数的图象可能是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；对于C，时，，，所以，所以，故C不正确；对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．故选：A. 9.已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（）A.B.0C.3D.6【答案】A【解析】【分析】由函数为奇函数可得，，再根据求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，因为，所以，则，所以，所以是以为周期的一个周期函数，所以.故选：A．10.苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（）（参考数据：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，可得，即，所以，可得，解得.故选：C. 11.函数的图像向右平移个单位，若所得图像对应的函数在是递增的，则的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求得函数图像向右平移个单位后的解析式，然后结合函数的单调递增区间确定实数a的最大值即可.【详解】由题意可得：，则函数图像向右平移个单位的解析式为：.函数的单调递增区间满足：，解得：,当时，函数的单调递增区间为，据此可得的最大值是.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移变换，三角函数的性质，辅助角公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　）A.（2，4）B.（2，5）C.（1，5）D.（1，4）【答案】A【解析】【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再 列式，根据对数函数的不等式解法求解即可【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；故，解得；故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，．若向量与垂直，则________．【答案】7【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数的值．【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以，解得，故答案为：7．14.已知，满足，则目标函数的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】画出可行域及目标函数，利用的几何意义求出最值. 【详解】画出可行域及目标函数，变形为，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标，故当过点时，取得最大值，联立，解得，故，将其代入，解得.故答案为：315.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【详解】试题分析：根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.考点：双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.16.关于函数有如下四个命题，其中正确的个数是______.①是偶函数；②图象关于对称；③的最小值为-2；④在上单调递增.【答案】2【解析】【分析】对于①，由函数奇偶性的定义进行判断；对于②，计算出，②错误；对于③，举出反例；对于④，先得到时，，换元后求导得到 其单调递减，进而由函数奇偶性得到④正确.【详解】对于①，由题意得，故，，故的定义域为，又，故为偶函数，①正确；对于②，，，由于，故图象不关于对称，②错误；对于③，，所以的最小值不为-2，③错误；对于④，当时，，故，令，，函数变形为，，在恒成立，故在上单调递减，即在上单调递减，由为偶函数可知，在上单调递增，④正确.故正确的个数为2.故答案为：2 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知中，角所对的边分别为，且.（1）求的值.（2）若的面积，且，求的外接圆半径.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化简已知条件得到，即可得到答案.（2）根据正弦定理面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求解即可.【小问1详解】.【小问2详解】，，所以.因为b=2，所以，解得.所以，因为，解得.18.2021年11月，江西省出台了新规落实“双减”政策，在加强学生作业管理方面《若干措施》提出，要控制书面作业总量，小学一、二年级不得布置家庭书面作业，小学三至六年级每天书面作业总量平均完成时间不超过60分钟，初中每天书面作业总量平均完成时间不超过90分钟．某中学为了了解七年级学生的家庭作业用时情况，从本校七年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生家庭作业用时的频率分布直方图，如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并估算学生家庭作业用时的中位数（精确到0.1）；（2）作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系．如果作业用时50分钟之内评价等级为优异，70分钟以上评价等级为一般，其它评价等级为良好．现从等级优异和等级一般的学生里面用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人被评价为等级一般学生的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1，即可求出的值，根据频率分布直方图中位数的求法，即可求出结果；（2）根据分层抽样可知等级优异学生被抽取的人数为4人，等级一般学生被抽取的人数为2人，然后根据题意列出满足题意的所有可能，根据古典概型即可求出结果.【小问1详解】解：由题意可知，，所以，由左至右各个分区间的概率分别为，中位数为分钟【小问2详解】解：由题意知按等级分层抽取6名，则等级优异学生被抽取的人数为4人，等级一般学生被抽取的人数为2人，记4名等级优异学生分别为，等级一般学生为，则从这6名学生中抽取2人的情况有 ，一共15种情况，2人中至少有1名等级一般学生共有9种情况，故所求概率为.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面ABCD，，，，，E为PC的中点，且．（1）证明：平面PBC．（2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，由直线与平面平行判定定理证明平面PBC．（2）证明平面APC，得，证明平面PCD，得的长度，计算体积.【小问1详解】证明：在梯形ABCD中，因为，，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．【小问2详解】如图，取AD的中点M，连接CM，AC， 因为底面ABCD为梯形，，，，，所以，，且，所以，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以平面APC，所以，又，，所以平面PCD，所以，E是PC的中点，．．20.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则， 直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数．（1）若函数单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，①求实数的取值范围；②当时，求的最小值．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由题可得，恒成立，分离变量，即可确定实数的取值范围；（2）①由在内有两个不等根，列出不等式求解即可；②结合题目条件，逐步转化，用一个变量表示，然后换元，利用导数求函数的最小值，由此即可解出.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，由函数单调递增得恒成立， 即，又，当且仅当时取得最小值2，实数的取值范围为；【小问2详解】①由题意在内有两个不等实根,需满足，，解得，实数的取值范围为；②，∴，所以，令，，当时，取得最小值.（请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．）22.已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；2若与相交于两点，设点，求的值．【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而，代入根与系数的关系得到结果.试题解析：（I）（为参数），所以曲线的普通方程为.，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，，所以，所以，因为，所以，所以【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，，，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与 系数的关系得到结果.23.已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，