四川省兴文第二中学2023-2024学年高三文科数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

宜宾兴文二中高2021级高三上学期开学考试文科数学第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设为虚数单位，复数满足，则的虚部是()A.-1B.iC.-2D.-2i【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则计算并根据复数的基本概念即可求解．【详解】，∴z的虚部为-2．故选：C．2.已知，则是的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质，结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为为单调递减函数，所以当时，，即充分性成立；当时，，即必要性成立；所以是的充要条件.故选：C．3.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（）A.事件“都是红色球”是随机事件B.事件“都是白色球”是不可能事件C.事件“至少有一个白色球”是必然事件 D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件【答案】C【解析】【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．故选：C4.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图的步骤，运行计算即可求解.【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；第二次执行，由，则，又由，则进入循环；第三次执行，由，则，又由，则进入循环；第四次执行，由，则，又由，则进入循环；第五次执行，由，则，又由，则输出, 故选：.5.若向量，满足且，则（）A.4B.3C.2D.0【答案】D【解析】【分析】先证明，可得，利用数量积运算法则求解即可.【详解】向量满足且，，，，故答案为0.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质，属于基础题.6.袋中共有10个除了颜色外完全相同球，其中有7个白球，3个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出任取2球的基本事件的总数，以及事件“1个白球，1个红球”含有的基本事件的个数，然后可计算出概率．【详解】由题意从10个球中任取2个的方法数是，其中一红一白的事件有，所以所求概率为．故选：C．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求得基本事件的个数．7.一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为正方体的体积为，所以棱长为，因为正方体的定点都在球面上，所以正 方体的体对角线应该为球的直径，所以球的直径为所以球的半径为，所以球的表面积为考点：本小题主要考查正方体与其外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的运算求解能力.点评：正方体外接于球，则正方体的体对角线为球的直径；如果球内切于正方体，则正方体的棱长等于球的直径.8.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B．【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，一般都是求棱锥或棱柱的体积而这道题是求表面积，因此考查学生计算基本功以及空间想象的能力 9.已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（）A.B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】由题得是的一个极大值点，化简即得解.【详解】解：由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，由，得.故选：D.10.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【解析】【分析】利用导数及对数函数的单调性作出函数图像，数形结合判断当函数与直线有三个交点时参数k的取值范围.【详解】当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得或1(舍去)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.则函数f(x)的图象如图所示， f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，数形结合知当k∈(0，2)时，函数与直线有三个交点，即y＝f(x)－k有三个不同零点.故选：C【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.11.已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意设直线的方程和直线的方程，分别与抛物线方程联立得到，，，然后求即可.【详解】由题意得，设直线的方程为，，，，,联立得，，设直线的方程为，联立得，，同理可得，所以. 故选：B.12.已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可.【详解】由得即，构造，即因为在上单调递增，所以，所以所以，令，则所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以，即又，即所以的取值范围是故选：B第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校1200名学生中，型血有450人，型血有350人，型血有250人，型血有150人，从中抽取容量为48的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则要抽取的型血的人数为_________.【答案】10【解析】【分析】根据分层比可求型血的人数. 【详解】因为用分层抽样的方法抽取样本，故要抽取的型血的人数为.故答案为：.【点睛】本题考查分层抽样，注意按分层比计算所取的人数，本题属于容易题.14.实数满足条件，则的最大值为_______________【答案】【解析】【分析】画出可行域，向下平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求线性目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.圆：和圆：交于两点，则直线的方程是____．【答案】【解析】【分析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【详解】由得故答案为．【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题，考查了公共弦所在直线的求法，属于基础题．16.已知、两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于），数据显示，大学的各专业的男女生比例均高于大学的相应专业的男女生比例（男女比例是指男生人数与女生人数比）．据此，甲同学说：“大学的男女比例一定高于大学的男女生比例”；乙同学说：“大学的男女比例不一定高于大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女比例一定高于大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是__________．【答案】乙【解析】【分析】结合特例可得说法正确的为乙.【详解】设A大学有专业1，男女比例为，人数为人，有专业2，男女比例，人数为3人；设B大学有专业1，男女比例为，人数为人，有专业2，男女比例为，人数为人；则上述比例满足题设要求，则大学的男女比例为，而大学的男女比例为，故答案为：乙三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030 不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）【解析】【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.【详解】（1）由题意可得：城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则，所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；不经常阅读的有2人，记为、. 从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.18.设函数（）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）求导可得，因为，所以，讨论与的大小，化情况讨论的单调性即可；（2）任意，恒有成立，所以求出在区间上的最值，再求的取值范围即可.【详解】（1），当，即时，在定义域上是减函数； 当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得综上，当时，在上是减函数；当时，和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增，（2）由（1）知，当时，在上单调递减，是最大值，是最小值；，，而，经整理得，因为时，由对勾函数知单调递减，所以时，单调递增，故得，所以19.如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点.（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求四面体的体积.【答案】（1）平面，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线 面平行的判定即可求解；（2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】直线与平面平行，理由如下如图所示，取中点为，连接，因为为的中点，为的中点，所以.又，，所以，所以，所以四边形为平行四边形.则.又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为是等腰直角三角形，，为的中点.所以,，，因为平面平面，，平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，所以平面，所以点到平面的距离为，因为为的中点.即点到平面的距离为，因为为的中点，所以，又因为四边形是直角梯形，，，，所以，所以四面体ODME的体积为.20.函数．（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；（2）若在上的值域为，求实数a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，由最小值小于即可解得结果；（2）根据得到，得到函数在上为减函数，进而求出最小值和最大值，结合已知的值域列式可求出的值.【小问1详解】的定义域为，，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷， 所以若函数有2个零点，则，解得.【小问2详解】由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为，若在上的值域为，则，即，所以，所以函数在上为减函数，所以，，解得符合题意；综上所述：【点睛】关键点点睛：第二问中，利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范围，这样避免分类讨论是解题关键.21.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（3）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件转化成关于的横坐标的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可；（3）把条件转化成，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数关系后，即可求得直线l所过定点.【小问1详解】 由已知，解得，，则，故椭圆的标准方程为．【小问2详解】设，则，又，．∴．由于在椭圆上，∴．由在区间上单调递增，可知当时，取最小值为0；当时，取最大值为12．故的取值范围是【小问3详解】由消去得：．设，，则，，．由得．，即，可得，则，即化简得． ∴或，均适合．当时，直线过，舍去；当时，直线过定点．故直线l恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于点A，B，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化，结合余弦二倍角公式即可求解，（2）联立直线与曲线的方程，由直线参数方程的几何意义即可求解.小问1详解】由得，将代入可得 ，即【小问2详解】将曲线的参数方程带入曲线得：，即设A，B两点对应的参数分别为，，则，所以异号，∴（选修4-5不等式选讲）23.已知函数，且不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若正实数满足，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；（2）根据题意，结合柯西不等式代入计算即可得到证明.【小问1详解】，且，，解得．．． （i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．综上所述，．【小问2详解】由（1）得．．，