第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图象和性质第2课时课件（人教版九上）

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式R·九年级上册 新课导入导入课题问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？ 会用待定系数法求二次函数的解析式.学习目标 推进新课思考回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？知识点1用二次函数一般式y=ax2+bx+c求函数解析式 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？探究 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？ a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7①②③?由②-①可得：2b=-6b=-3由③-①可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10c=5∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7∴解方程组得：因此，所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5. 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行 图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？知识点2用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4)∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，又抛物线过点(2,-3)，则-3=a(2-1)2-4，则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.归纳 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解:∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)∵图象过点C(0,3)∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：①设出合适的函数解析式；②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式. 知识点4已知图象上关于对称轴对称的两点坐标已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式.方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0，3)代入其中求出a的值.方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求a，b，c的值.两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？ 已知二次函数的图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3,又图象经过点(2,6),∴6=a(2-1)(2+1)+3,解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2. 随堂演练基础巩固1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c=．3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为.D-2y=-7(x-3)2+4. 根据已知条件选设函数解析式：用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）. 拓展延伸6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 练习【教材P35练习】一个二次函数的图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，求这个二次函数的解析式.解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知，函数图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组c=0，a-b+c=-1，a+b+c=9，a=4，b=5，c=0.解得所求二次函数的解析式是y=4x2+5x. 课堂小结