浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知向量，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.【详解】.故选：A2.圆的圆心和半径分别为（）A.，2B.，4C.，2D.，4【答案】C【解析】【分析】将圆的方程转化为标准方程形式，直接判断即可.【详解】由题可知：圆即所以该圆的圆心为，半径为故选：C3.在长方体中，为棱的中点.若，则等于（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解.【详解】因为长方体中，为棱的中点，所以，故选：A.4.若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解.【详解】如图所示： 当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大，当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为，由直线倾斜角与斜率的关系可知，所以，当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为，由直线倾斜角与斜率的关系可知，所以，又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的，因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为.故选：D.5.已知直线：，：，若，则（）A.1B.－1或－3C.1或3D.3【答案】D【解析】【分析】利用两直线平行一般式方程的系数关系求解即可.【详解】，，，当，即时，，此时与不平行，当，即时，有，解得，经检验符合题意..故选：D.6.已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值.【详解】以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，设，则，所以．令，则，因为，所以．当时，；当时，，因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．故选：B 7.已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（）．A.B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断直线l恒过点，根据题意知点B在以线段为直径的圆上，再利用圆的几何性质求解即可,【详解】将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，因为点在直线上的射影为点B，所以，则点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，又，所以点B到点距离的最大值为，故选：C．8.已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.【详解】取，连接， 则，又，所以，又，故∽，故，从而，所以，当三点共线时，取得最小值，最小值为.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错得或不选的得0分.9.已知直线：，下列说法正确的是（）A.若，则直线的倾斜角为B.若直线在两坐标轴上的截距相等，则C.，原点到直线的距离为5D.直线与直线垂直，则【答案】AD【解析】【分析】求出直线方程，即可求出斜率与倾斜角，即可判断A，分直线经过原点和不过原点，即可判断B，求出直线过定点坐标，即可判断C，由两直线垂直斜率之积为，求出直线的斜率，即可判断D. 【详解】对于A，若，直线的方程为，即，则斜率为，所以其倾斜角，故A正确；对于B，当直线经过原点时，即，解得，则直线方程为，在两坐标轴上截距相等，都为，当直线不经过原点时，则，即，若直线的在两坐标轴的截距相等，必有，解可得，符合题意，故或，即B错误；对于C，直线，即，令，解得，直线恒过点，设，则，所以原点到直线的距离，不存在满足条件，故C错误；对于D，若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有，解可得，故D正确；故选：AD．10.如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（）A.B.C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，，，，，选项A正确；，所以根据三角函数两角正余弦关系解得：，选项B正确；，选项C错误； 点到直线的距离为：，而所以选项D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；11.已知曲线的方程为，则（）A.曲线关于直线对称B.曲线围成的图形面积为C.若点在曲线上，则D.若圆能覆盖曲线，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理，计算判断即可．【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点有，即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，故选项A正确；因为点在曲线上，点，点也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称，当，时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形的面积是，故选项B正确；点，在曲线上，则，，，，解得，故选项C正确；曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故选项D不正确．故选：ABC．12.在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是（）A.当时，周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，存在两点P，使得D.当时，存在两点P，使得平面【答案】BC【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C正确；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D错误．故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量，，则在上的投影向量为______.（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算以及投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标.【详解】因为，，则，所以，，所以，在上的投影向量为.故答案为：.14.已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在y轴上的截距为，则直线的一般式方程为______.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，利用倍角公式可求直线的斜率，根据斜截式求直线的方程并转化为一般式.【详解】由题意可知：直线的斜率为，即，则直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：.15.以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三 线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为_________【答案】【解析】【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，因为是等腰三角形，，所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，令的费马点为，则在上，则，因为是锐角三角形，由性质（1）得，所以，所以，所以，，到、、的距离分别为，，所以的最小值，即为费马点到点、、的距离之和，则．故答案为：．【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.16.正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________． 【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面D1EF的一个法向量，结合线面平行的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.【详解】因为ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因为，所以F是CC1四等分点（靠近C），所以F（02,1），所以，设平面D1EF的一个法向量为，则，即，令c＝2，则，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以， 故，因为0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因为，所以|MD|在上单调递减，所以当x＝时，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值为，当x＝2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为，所以|MD|的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知三角形三顶点，求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）边的中线所在的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据高与所在边垂直关系求斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）中点公式写出中点坐标，应用两点式写出中线所在直线方程.【小问1详解】边所在直线的斜率为，边上的高所在的直线的斜率为2.边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】易知边的中点为，则边的中线过点和.所以边的中线所在直线方程为，即.18.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角的正弦值即可.【小问1详解】连接交与点，连接，∵为矩形，∴为的中点，∵为的中点，∴，∵平面，平面，∴∥平面. 【小问2详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则.19.设直线l的方程为（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）将直线方程整理成关于的式子，再令其系数为0，解关于和的方程组，即可；（2）易知，，由，求出参数的值，从而可得的坐标，即可求出答案.【小问1详解】 证明：将整理成，令，解得，，所以定点为，故不论为何值，直线必过一定点；【小问2详解】解：由题意知，，由，当时，，当时，，由，得，所以面积，解得，此时，，，所以的周长为，故当面积为12时，的周长为.20.已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上.（1）求圆C的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件确定圆心与半径后求解，（2）转化为求关于直线的对称点，与圆心连线的直线方程．【小问1详解】的斜率为，中点坐标为， 由题意得圆心在的垂直平分线上，，解得，故，半径为，圆C的方程为；【小问2详解】如图所示，过与直线垂直的直线方程为，由得，两直线交于点，则关于直线的对称点为，由题意得反射光线过圆心，直线的斜率为，故直线的方程为，即.21.如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.（1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】连接，分别是线段的中点，，底面四边形为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，； 设直线与平面所成角为，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距离为，.22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D．（1）求证：平面BDE；（2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）利用空间向量坐标运算求出二面角的余弦值求解.小问1详解】连接,因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以，又因为平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由题设可知，四边形为菱形，所以,因为D，E分别是线段AC，的中点，所以,所以，又因为平面BDE,所以平面BDE.【小问2详解】以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,设，则所以平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为,所以，设，则，所以，设，所以，因为，所以二次函数在单调递增，所以，所以，所以锐二面角的余弦值的取值范围．