四川省达州市万源中学2023-2024学年高二数学上学期第一次考试试题（Word版附答案）

万源中学高2025届高二（上）第一次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则的真子集个数为(   )A.3B.4C.7D.82.已知,则的共轭复数(   )A.B.C.D.3.设是不同的直线，是不同的平面，且，则“”是“”的(   )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面圆上各点均在该球面上），且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为(   )A.B.C.D.5.某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，，与平面的距离为，该五面体的体积为(   )A.B.6C.9D.6.已知，则的最小值为(   )A.6B.7C.8D.9第8页共8页 7.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则=(   )A.-1B.0C.1D.28.如图，直角梯形中，,为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且,则下列结论错误的是(   )A.与平面所成角的正切值为B.C.二面角的大小为D.平面平面二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9.已知点为平面外一点，则下列说法正确的是(   )A.过点只能作一个平面与平行B.过点可以作无数条直线与平行C.过点只能作一个平面与垂直D.过点只能作一条直线与垂直10.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物某地8月1日到8月10日的日均值（单位：）分别为36,32,38,34,32,88,42,36,30,32,则关于这10天中日均值的说法正确的是(   )A.众数为32B.第80百分位数是38C.平均数是40D.前4天的方差比后4天的方差小11.函数在一个周期内图象如图，则(   )A.该函数的解析式为B.该函数的一条对称轴方程为C.该函数的单调递减区间是D.把的图象上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是(   )A.直线平面第8页共8页 B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某正四棱台的上、下底面边长分别是3，9，侧棱长是6，则它的体积为___________.14.若向量，向量，则向量在向量上的投影向量坐标为___________.15.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为___________.16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的大小．18.（12分）某校对高一年级1000名学生的身高进行了统计，发现这1000名学生的身高介于（单位：cm），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍.（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：cm）的中位数（保留位小数）；（2）若采用分层抽样的方法从前两组中抽取6位同学参加某项课外活动，在这6位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率.19.（12分）第8页共8页 在中，内角所对的边分别为且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．20.（12分）如图，在三棱锥中，,D为线段AC的中点， E为线段PC上一点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．21.（12分）已知函数，且最小正周期是．（1）求的解析式，并求的单调递增区间；（2）将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求实数m的取值范围．22.（12分）如图（1），在中，E,F,H分别为边AB,AC,BC的中点，以EF为折痕把折起，使点A到达点P位置(如图(2))．(1)当时，求二面角的大小；(2)当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：①设平面PBE与平面PFH的交线为，求证：；②在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为?若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．第8页共8页 万源中学高2025届高二（上）第一次月考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1-5:CDADB6-8:DBA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.ABD10.ACD11.AC12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：(1)证明：连接AC.⸪E,F分别是AD1,CD1的中点⸫EF∥AC......................................3分又⸫EF∥平面ABCD................................5分(2)⸪EF∥AC,B1C1∥BC⸫（或其补角）为异面直线EF与B1C1所成角.....8分易求得=45⸫异面直线EF与B1C1所成角为45..................10分18.解：（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为设第一组的频率为，由题可知，解得∴第一组的人数为人...................................3分前三组的频率之和为，估计中位数为cm..................................6分（2）第二组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取2人，记为A,B，第二组抽取4人，记为C,D,E,F...................................................7分第8页共8页 从6人中随机抽取人的样本点有以下15个：（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）...............................9分其中两人来自于同一组的样本点有以下7个:（A,B）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）...............11分故所求概率为....................................................12分19.解：(1)⸪.......................2分........................................4分..........................................6分(2)...................................8分..................................10分所以的周长为 ....................................12分20．解：（1）证明：由平面平面且可得平面由平面可得.........................4分（2）证明：由为线段的中点,可得由平面平面可得平面平面又平面平面平面且即有平面又平面可得平面平面................................................8分（3）解：平面平面且平面平面可得又为的中点，可得为的中点，且第8页共8页 由平面可得平面....................................10分又则三棱锥的体积为......................12分21.解：（1）由解得................................................3分的单调递增区间为...........................6分(2)将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象；再向左平移个单位，可得的图象，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，....................8分恒成立,当时，恒成立，只需................................10分当时，从而即的取值范围是.................................................12分22.解：(1)由于则二面角的平面角为..........2分第8页共8页 在中，已知由余弦定理得，又所以所以二面角的大小为............4分（2）j当四棱锥的体积最大时,平面在直角梯形中,所以四边形为平行四边形.所以平面平面,所以平面又平面,平面平面所以因为平面平面所以又所以又、平面所以平面.........................8分k当四棱锥的体积最大时，由（1）知平面所以与平面所成角为所以,解得...................10分在中,由余弦定理可得即解得或所以点为靠近点或点的线段的四等分点.......................12分第8页共8页