四川省达州市万源市万源中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

万源中学高2025届高一（下）期中考试数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集的定义计算可得；【详解】由已知得，.所以.故选：A.2.若复数（是虚数单位），则对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再根据共轭复数与复数的几何意义，可得共轭复数应的点所在象限.【详解】因为， 则，因此，对应的点，在第三象限.故选：C.3.若向量满足，则（）A.B.C.8D.12【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可.【详解】，得，所以.故选：A.4.已知，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的关系化简计算【详解】因为，所以，故选：D5.若的面积为，，，则（）A.B.C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积公式可得，利用余弦定理可得. 【详解】由题意，得,由余弦定理得，得.故选：B6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出 .【详解】由题意可得：，且，所以，所以，故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.7.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，当时，可以推导出函数为偶函数， 而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，则，当点在上时，设，则，即，故，当点在上时，设，则，即，解得，故，当点在上时，设，则，即，故综上，的取值范围是. 故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.设函数，则下列结论正确的有（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.的图象关于点对称D.的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】由周期公式可判断A；利用余弦函数减区间解不等式可判断B；根据余弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断CD.【详解】函数的最小正周期，所以A正确；由得：，因为是的真子集，所以在区间上单调递减，故B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C不正确；D正确.故选：ABD10.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）A.B.C.D. 【答案】CD【解析】【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：11.已知分别是的内角的对边，且，，则（）A.B.C.面积的最大值为D.面积的最大值为【答案】AC【解析】【分析】对于AB，将已知等化简后，利用余弦定理可求得角，对于CD，由，，结合基本不等式可求得，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】对于AB，由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，所以A正确，B错误，对于CD，由，，得，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号，所以面积的最大值为，所以C正确，D错误，故选：AC12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（）A.B.C.1D.2【答案】ABC【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求出的范围，然后由题意可得，且（），从而可求出的范围.【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，由，得，因为在区间内不存在零点，所以，得，（），解得（），因为，所以或， 所以选项ABC符合条件，D不符合条件，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则的虚部为___________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的四则运算法则，进行运算即可.【详解】，的虚部为故答案为：14.在分层随机抽样中，总体共分为两层，第一层的样本量为20，样本平均数为5，第二层的样本量为30，样本平均数为10，则该样本平均数为___________.【答案】8【解析】【分析】根据平均数的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得该样本平均数为，故答案为：815.已知，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由条件可得，则利用均值不等式可得答案.【详解】由得，所以当且仅当，即且时取得等号. 故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16.已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】由正弦定理边角关系得，结合三角形内角性质、三角恒等变换化简可得，即可求大小，进而求得外接圆半径，结合正弦定理可得，即可求三角形面积.【详解】由题设，而，所以，则，又，可得，，故.所以外接圆半径为，等腰中，且， 所以，则，即，故，又，，则的面积为.故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数且，且的图象过点.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由，求得，从而可得答案；（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.【小问1详解】的图象过点，，又【小问2详解】在R上单调递增.18.如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设. （1）用表示;（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得.（2）利用数量积的运算律转化即可.【小问1详解】，.【小问2详解】.19.已知的内角的对边分别为，且的面积为.（1）求；（2）若为的中点，边上的高为，求的长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据正弦定理对题中条件进行变化并化简，即可求得；根据三角形面积公式可求得及的值，又，两边平方并化简即可.【小问1详解】，由正弦定理得则,又，则，，又,.【小问2详解】又，，，又,所以，又因为，所以， 20已知，（1）求以及的单调减区间；（2）若在上有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）；减区间为（2）【解析】【分析】（1）先利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可求出，由可求得其单调减区间；（2）由，得，再由求出的范围，然后由在上有唯一解，可求出的取值范围.【小问1详解】因为所以由，得，所以的单调减区间，【小问2详解】由，得，则，由，得， 因为在上有唯一解，所以，得.21.如图，在平面直角坐标系中，以为始边,顶点与原点重合，分别作角，其中，终边分别与单位圆交于两点，且.已知点坐标为.（1）求的值；（2）已知为实数，求函数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由任意角的三角函数的定义可得，然后由同角三角函数的关系可求出，再由，结合诱导公式可求出，从而可求出，（2）由（1）可求出，从而可得，化简后结合二次函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】由题意得，因为，所以，因为，，所以，， 所以，【小问2详解】，①当，即时，时，，②当，即时，时，，③当，即时，时，.综上，.22.如图，在平面四边形中，．（1）判断的形状并证明；（2）若，，，求四边形的对角线的最大值．【答案】（1）直角三角形，证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）首先在中，运用正弦定理，将条件中的转化为，然后通过三角函数恒等变换化简求出，即可判断的形状.（2）首先在BC上方作Rt△BCM使，且，然后利用相似三角形求得 与的长度，然后利用即可求出的最大值.【小问1详解】已知，由正弦定理可得：，即得，，，故，即为直角三角形．【小问2详解】如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，∴，∴且∴，由，，得，在中，，由，，得.由，得，∴，当MAC上时等号成立，