四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

2023年8月绵阳南山中学高2022级高二上入学考试试题数学一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若，则()A．B．C．D．2．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是()A．相交B．平行C．垂直或异面D．相交或异面3．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．平均数B．众数C．中位数D．方差4．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是()A．B．C．D．5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为()A．B．C．D．566．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是()A．B．C．D．7．平行四边形中，为的中点，点满足，若，第9页，共9页 则的值是()A．4B．2C．D．8．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是()A．B．5C．D．二、多项选择题(每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9．已知复数，，则下列结论正确的是()A．若，则B．若和互为共轭复数，则C．若，则D．10．下列各式中值为1的是()A．B．C．D．11．如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图(2)，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是()A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点D．时，盛水筒处于向上运动状态12．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点(含边界)，第9页，共9页 点P在棱上，且，则下列结论正确的有()A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．若保持，则点M的运动轨迹长度为C．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为D．平面被正方体截得截面面积为三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.)13．已知，，若，则．14．某校高中三个年级共有学生2800名．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的可能性是0.32．该校高三年级学生人数比高二年级学生多112人，现用分层随机抽样的方法在全校共抽取75名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为.15．若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是．16．某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由，，，四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则.四．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．设与是两个单位向量，其夹角为60°，且，(1)求；(2)求的夹角．18．已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；第9页，共9页 (2)当，且时，的值域是，求，的值.19．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角．20．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为.(1)求;(2)若求△ABC的周长.21．已知向量，，函数．(1)若，且，求的值；(2)已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.(1)求证：平面；(2)设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值.第9页，共9页 绵阳南山中学高2022级高二上入学考试试题数学（参考答案）1．C2．D3．C4．D5．A6．B7．D8．A 9．BCD10．BC11．AC12.BD13．14.2715．16．17．（1）…..4（2）因为，所以，所以；因为，所以，所以...…8设的夹角为．则,所以.故的夹角为...…1018．（1）当时，...…2由得：，所以的单调递增区间为；..…6（2）因为，，..…10所以，，又的值域是，所以，.第9页，共9页 ..…1219．（1）在正方形中，，因为，所以，..…1又因为侧面是正方形，所以，因为平面，所以平面，而平面，则，而，∴，..…5而，又平面，∴平面..…6（2）连接，如图所示：∵为正方形，，∴，而平面，∴平面，∴为直线与平面所成的角，..…10∵，∴，所以直线与平面所成的角为...…1220．（1）由题设得，即.由正弦定理得.故...…4第9页，共9页 （2）由题设及（1）得，即.所以，故...…6由题设得，即...…8由余弦定理得，即，得.故的周长为...…1221．（1），..…2，因为，所以，而，所以，所以，所以；..…6（2）由题意得，假设的图象上存在点使得，因为，，因为，所以，..…8第9页，共9页 令，因为，所以，当且仅当时取等，所以存唯一解，此时，点，综上，符合条件的点坐标为．..…1222.（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，由平面平面，所以，而平面，平面，故平面；..…4（2）由（1）知，而，故，同理可证，由可得，故，  设A点到平面的距离为d，则；..…6第9页，共9页 又，，故，设C点到平面的距离为h，则F点到平面的距离为，故,..…10故,则，故...…12第9页，共9页