2014-2023高考数学真题分项汇编专题24 解析几何解答题（理科）（原卷版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何解答题目录题型一：曲线和方程1题型二：直线与圆的方程3题型三：椭圆的定义及性质5题型四：直线与椭圆的位置关系7题型五：双曲线的定义及性质12题型六：直线与双曲线的位置关系13题型七：抛物线的定义及性质15题型八：直线与抛物线的位置关系17题型九：圆锥曲线中的证明问题20题型十：圆锥曲线中的最值问题22题型十一：圆锥曲线中的综合问题25题型一：曲线和方程1.(2018年高考数学江苏卷·第18题)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．,2.(2017年高考数学江苏文理科·第17题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8．点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线．(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标．F1OF2xy(第17题)3.(2016高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)如图，设椭圆．(Ⅰ)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；(Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．4.(2014高考数学广东理科·第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为．,(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．5.(2017年高考数学上海(文理科)·第20题)(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点．(1)若在第一象限,且,求的坐标;(2)设,若以、、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标;(3)若,直线与交于另一点,且,,求直线的方程．题型二：直线与圆的方程1．(2015高考数学福建理科·第18题)已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2.(2014高考数学江苏·第18题)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(为河岸)，．(1)求新桥的长；(2)当多长时，圆形保护区的面积最大？,170m60m东北OABMC（第18题）3．(2015高考数学广东理科·第20题)(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B．(1)求圆的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．4.(2016高考数学江苏文理科·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点．(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；(3)设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．5.(2014高考数学北京理科·第19题)已知椭圆(1)求椭圆C的离心率e．(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论。,题型三：椭圆的定义及性质1.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第21题)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为，(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．2.(2020江苏高考·第18题)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．(1)求的周长；(2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；(3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．3.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．(1)求的方程；(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．4．(2014高考数学江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．(1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；(2)若求椭圆离心率的值．,F1F2OxyBCA(第17题)5.(2015高考数学重庆理科·第21题)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且(1)若，求椭圆的标准方程;(2)若求椭圆的离心率．6.(2015高考数学四川理科·第20题)如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．(Ⅰ)球椭圆的方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．,7.(2015高考数学陕西理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程．8.(2015高考数学安徽理科·第20题)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．(Ⅰ)求E的离心率e；(Ⅱ)设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．题型四：直线与椭圆的位置关系全国卷设置一、解答题1．(2023年北京卷·第19题)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、,下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．2.(2023年天津卷·第18题)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．3.(2022高考北京卷·第19题)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．4.(2022年浙江省高考数学试题·第21题)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．5.(2021高考北京·第20题)已知椭圆一个顶点，以椭圆,的四个顶点为顶点的四边形面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．6.(2020天津高考·第18题)已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．7.(2019·上海·第20题)已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.(1)若AB垂直于轴时，求；(2)当时，在轴上方时，求的坐标；(3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.8.(2018年高考数学天津(理)·第19题)(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点，若(为原点)，求的值．9.(2014高考数学重庆理科·第21题)如题(21)图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为．(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．,10.(2014高考数学浙江理科·第21题)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标；(2)若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为11.(2014高考数学天津理科·第18题)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为．已知．(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切．求直线的斜率．12．(2014高考数学四川理科·第20题)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点．(i)证明：平分线段(其中为坐标原点)；当最小时，求点的坐标．,13.(2014高考数学课标2理科·第20题)(本小题满分12分)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．14．(2015高考数学新课标2理科·第20题)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．15.(2015高考数学天津理科·第19题)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，．(Ⅰ)求直线的斜率；(Ⅱ)求椭圆的方程；(Ⅲ)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线(为原点)的斜率的取值范围．16.(2015高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为．(1)设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设与的斜率之积为，求面积的值．17．(2015高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．18.(2015高考数学江苏文理·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程．,