2014-2023高考数学真题分项汇编专题23 立体几何解答题（理科）（原卷版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—立体几何解答题目录题型一：证明平行问题1题型二：证明垂直问题2题型三：求线线角5题型四：求线面角7题型五：求二面角16题型六：求几何题的表面积和体积18题型七：求距离的问题30题型八：根据条件确定点的位置31题型九：立体几何中求最值问题36题型十：立体几何的综合应用37题型一：证明平行问题1．(2019·江苏·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，．求证：(1)平面；(2)．2．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．38学科网（北京）股份有限公司,(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3．(2016高考数学山东理科·第17题)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．(I)已知分别为，的中点，求证：GH∥平面ABC；(II)已知，．求二面角的余弦值．题型二：证明垂直问题1．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱中，，平面，分别是的中点．38学科网（北京）股份有限公司,(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．2．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，．求证：(1)；(2)．3．(本小题满分12分)如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．(Ⅰ)证明平面；(Ⅱ)设，证明平面．4．(2014高考数学江苏·第16题)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，38学科网（北京）股份有限公司,(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面．5．(2015高考数学江苏文理·第16题)如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．求证：(1)；(2)．ABCDEA1B1C16．(2017年高考数学江苏文理科·第15题)如图,在三棱锥中,,,平面⊥平面,点(与不重合)分别在棱,上,且⊥．求证:(1)∥平面;(2)⊥．(第15题)ADBCEF7．(2016高考数学江苏文理科·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为的中38学科网（北京）股份有限公司,点，点在侧棱上，且，．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．8．(2023年全国乙卷理科·第19题)如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角正弦值．题型三：求线线角1．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小．38学科网（北京）股份有限公司,2．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．(1)证明：平面⊥平面;(2)求直线与直线所成角的余弦值．3．(2016高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．将边长为1的正方形(及其内部)绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小．4．(2015高考数学广东理科·第18题)(本小题满分14分)如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．点E38学科网（北京）股份有限公司,是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB．(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P—AD—C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．题型四：求线面角1．(2021年高考浙江卷·第19题)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．38学科网（北京）股份有限公司,(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．3．(2020北京高考·第16题)如图，在正方体中，为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．4．(2019·浙江·第19题)如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值．5．(2019·天津·理·第17题)如图，平面，，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角的余弦值为，求线段的长．38学科网（北京）股份有限公司,6．(2023年全国甲卷理科·第18题)如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．7．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．(1)证明：平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．8．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．38学科网（北京）股份有限公司,(I)证明：EF⊥DB；(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．9．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．10．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．11．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体中，，E为的中点．38学科网（北京）股份有限公司,(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．12．(2018年高考数学江苏卷·第25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．13．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体，均垂直于平面，，，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．38学科网（北京）股份有限公司,14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．(1)证明:平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．15．(2014高考数学陕西理科·第19题)四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点．⑴证明：四边形是矩形；⑵求直线与平面夹角的正弦值．122主视图左视图俯视图ABCDEFGH38学科网（北京）股份有限公司,16．(2014高考数学福建理科·第17题)(本小题满分12分)在平行四边形中，，．将沿折起，使得平面平面，如图：(1)求证：；(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．17．(2014高考数学北京理科·第17题)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM、MD的中点,在五棱锥P−ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G、H(1)求证：AB//FG；(2)若PA⊥平面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长．18．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．DD1C1A1EFABCB138学科网（北京）股份有限公司,(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．19．(2015高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成角的大小．20．(2017年高考数学浙江文理科·第19题)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点．(Ⅰ)证明:∥平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．(第19题图)21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.(Ⅰ)证明∥平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.PNMABCD22．(2016高考数学天津理科·第17题)如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．(Ⅰ)求证：平面；38学科网（北京）股份有限公司,(Ⅱ)求二面角的正弦值；(Ⅲ)设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．23．(2016高考数学四川理科·第18题)如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；(2)若二面角的大小为，求直线与所成的角正弦值．24．(2017年高考数学北京理科·第16题)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,．(Ⅰ)求证:为的中点;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．38学科网（北京）股份有限公司,题型五：求二面角1．(2020天津高考·第17题)如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的正弦值；(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．2．(2020江苏高考·第24题)在三棱锥中，已知,，为的中点，平面，，为的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若38学科网（北京）股份有限公司,．(1)证明：平面平面；(2)求二面角平面角的余弦值．4．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．(1)求；(2)求二面角的正弦值．5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．38学科网（北京）股份有限公司,6．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．(1)证明：点平面内；(2)若，，，求二面角的正弦值．7．(2019·全国Ⅲ·理·第19题)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小．8．(2019·全国Ⅱ·理·第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．证明：平面；若，求二面角的正弦值．38学科网（北京）股份有限公司,9．(2019·全国Ⅰ·理·第18题)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．10．(2023年北京卷·第16题)如图，在三棱锥中，平面，．(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．11．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第20题)如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．12．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，是三棱锥的高，，，E是38学科网（北京）股份有限公司,的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角正弦值．13．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．PABMCO38学科网（北京）股份有限公司,15．(2014高考数学重庆理科·第19题)如图(19)，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且，．(1)求的长；(2)求二面角的正弦值。16．(2014高考数学浙江理科·第20题)如图，在四棱锥中，平面平面．(1)证明：平面;(2)求二面角的大小17．(2014高考数学四川理科·第18题)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设分别为线段的中点，为线段上的点，且．(Ⅰ)证明：是线段的中点；(Ⅱ)求二面角的余弦值．18．(2014高考数学山东理科·第17题)如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)若垂直于平面且，求平面和平面所成的角(锐角)38学科网（北京）股份有限公司,的余弦值．19．(2014高考数学辽宁理科·第19题)(本小题满分12分)如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点．(1)求证：；(2)求二面角的正弦值．20．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．(1)证明:;(2)若,,,求二面角的余弦值．21．(2014高考数学湖南理科·第19题)如图,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形均为矩形．(Ⅰ)证明:底面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值．38学科网（北京）股份有限公司,22．(2014高考数学广东理科·第18题)如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．23．(2014高考数学大纲理科·第19题)如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，．(1)证明：；(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小．24．(2015高考数学重庆理科·第19题)(本小题满分13分，(1)小问4要，(2)小问9分)如图，三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且(1)证明：平面;38学科网（北京）股份有限公司,(2)求二面角的余弦值．25．(2015高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．26．(2015高考数学四川理科·第18题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为．(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)(2)证明：直线平面(3)求二面角的余弦值．27．(2015高考数学陕西理科·第18题)(本小题满分12分)如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．38学科网（北京）股份有限公司,(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．28．(2015高考数学山东理科·第17题)如图，在三棱台中，分别为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若平面，，,求平面与平面所成的角(锐角)的大小．29．(2015高考数学福建理科·第17题)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．30．(2015高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．38学科网（北京）股份有限公司,(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若平面，求的值．31．(2015高考数学安徽理科·第19题)(本小题满分13分)如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求二面角的余弦值．32．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．(1)证明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值．33．(2017年高考数学山东理科·第17题)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点．(Ⅰ)设是上的一点,且,求的大小;38学科网（北京）股份有限公司,(Ⅱ)当,,求二面角的大小．34．(2017年高考数学江苏文理科·第25题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,．(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．(第22题)35．(2016高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱台中，平面⊥平面，．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．35．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．38学科网（北京）股份有限公司,(I)证明：平面；(II)求二面角的正弦值．37．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．(I)证明平面；(II)求二面角的余弦值．题型六：求几何题的表面积和体积1．(2016高考数学江苏文理科·第17题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．(1)若，，则仓库的容积是多少；(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？38学科网（北京）股份有限公司,2．(2014高考数学上海理科·第19题)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．3．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．PEDCBA4．(2014高考数学安徽理科·第20题)如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为．38学科网（北京）股份有限公司,(Ⅰ)证明：为的中点；(Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(Ⅲ)若，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小．5．(2015高考数学湖南理科·第21题)如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上．(1)若是的中点，证明：；(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．题型七：求距离的问题1．(2019·上海·第17题)如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.(1)求直线与平面的夹角；(2)求点到平面的距离.2．(2023年天津卷·第17题)三棱台中，若面，分别是中点．38学科网（北京）股份有限公司,(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．题型八：根据条件确定点的位置1．(2021高考北京·第17题)如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．(1)求证：为的中点；(2)点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．2．(2014高考数学湖北理科·第19题)如图，在棱长为2的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且．(Ⅰ)当时，证明：直线平面；(Ⅱ)是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？38学科网（北京）股份有限公司,若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．(1)证明：；(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?4．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．(1)证明：；38学科网（北京）股份有限公司,(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．5．(2016高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，平面平面，,，．(I)求证：平面;(II)求直线与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第18题)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．7．(2018年高考数学天津(理)·第17题)(本小题满分13分)如图，且，，且，，且，平面，．(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值；38学科网（北京）股份有限公司,(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．8．(2014高考数学天津理科·第17题)如图,在四棱锥中,底面,,,,点为棱的中点．(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值．9．(2015高考数学湖北理科·第19题)(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接(Ⅰ)证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为，求的值．10．(2017年高考数学天津理科·第17题)如图,在三棱锥中,底面,．点,,分别为棱,,的中点,是线段的中点,,．(1)求证:平面;38学科网（北京）股份有限公司,(2)求二面角的正弦值;(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长．11．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面，是的中点．(1)证明：直线平面；(2)点在棱上，且直线与底面所成锐角为，求二面角的余弦值．38学科网（北京）股份有限公司,题型九：立体几何中求最值问题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．(1)证明：平面平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．3．(2014高考数学江西理科·第20题)如图,四棱锥中,为矩形,平面平面．求证:38学科网（北京）股份有限公司,ABCDP若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值．4．(2015高考数学江苏文理·第25题)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,．(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；(2)点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．PABCDQ题型十：立体几何的综合应用1．(2019·北京·理·第16题)如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值；(Ⅲ)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．38学科网（北京）股份有限公司,2．(2017年高考数学江苏文理科·第18题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度．(第18题)38学科网（北京）股份有限公司