2014-2023高考数学真题分项汇编专题22 导数解答题（理科）（原卷版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题目录题型一：导数的概念及几何意义1题型二：导数与函数的单调性2题型三：导数与函数的极值、最值4题型四：导数与函数零点问题7题型五：导数与不等式的证明9题型六：导数与其他知识的交汇题型11题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题12题型八：导数的综合应用14题型一：导数的概念及几何意义1．(2020北京高考·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．2．(2018年高考数学天津（理）·第20题)(本小题满分14分)已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a取值范围．4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第22题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围．5．(2018年高考数学浙江卷·第22题)(本题满分15分)已知函数．(1)若在处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．6．(2014高考数学课标1理科·第21题)设函数,曲线在点处的切线．(1)求;(2)证明:．7．(2019·全国Ⅲ·理·第20题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．8．(2019·全国Ⅱ·理·第20题)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．题型二：导数与函数的单调性1．(2022高考北京卷·第20题)已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意，有．2．(本小题满分12分)已知函数，其中，为参数，且．(Ⅰ)当时，判断函数是否有极值；(Ⅱ)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．3．(2014高考数学重庆理科·第20题)已知函数的导函数 为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为．（1）确定的值；（2）若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围．4．(2014高考数学天津理科·第20题)设．已知函数有两个零点,且．(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)证明随着的减小而增大;(Ⅲ)证明随着的减小而增大．5．(2014高考数学江西理科·第19题)已知函数．(1)当时,求的极值;(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围．6．(2015高考数学重庆理科·第20题)(本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)设函数．(1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；(2)若在上为减函数，求的取值范围．7．(2016高考数学北京理科·第18题)(本小题13分)设函数，曲线在点处的切线方程为．(I)求的值；(Ⅱ)求的单调区间．8．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．9．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围． 题型三：导数与函数的极值、最值1．(2023年北京卷·第20题)设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第22题)(1)证明：当时，；(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．3．(2021高考北京·第19题)已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第21题)已知函数．(1)若，证明：当时，，当时，；(2)若是的极大值点，求．5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第21题)(12分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．6．(2018年高考数学北京（理）·第18题)(本小题13分)设函数．(Ⅰ)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(Ⅱ)若在处取得极小值，求的取值范围．7．(2014高考数学山东理科·第20题)设函数(为常数，是自然对数的底数)． (Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．8．(2014高考数学湖南理科·第22题)已知常数函数．(Ⅰ)讨论在区间上的单调性；(Ⅱ)若存在两个极值点，且求的取值范围．9．(2014高考数学安徽理科·第18题)设函数，其中．(Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值．10．(2015高考数学安徽理科·第21题)(本小题满分13分)设函数．(Ⅰ)讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(Ⅱ)记，求函数在上的最大值D；(Ⅲ)在(Ⅱ)中，取，求满足时的最大值．11．(2017年高考数学浙江文理科·第20题)已知函数(Ⅰ)求的导函数;(Ⅱ)求在区间上的取值范围．12．(2017年高考数学山东理科·第20题)已知函数,,其中是自然对数的底数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)令,讨论的单调性并判断有无极值;有极值时,求出极值． 13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)(12分)已知函数．(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．14．(2017年高考数学江苏文理科·第20题)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求关于的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:; (3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围． 15．(2017年高考数学北京理科·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第21题)(12分)已知函数且．(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且．17．(2016高考数学天津理科·第20题)设函数，其中．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)若存在极值点，且，其中，求证：；(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．18．(2023年全国乙卷理科·第21题)已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由．(3)若在存在极值，求a的取值范围．19．(2019·北京·理·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程；(Ⅱ)当时，求证：；(Ⅲ)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值．题型四：导数与函数零点问题1．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第21题)已知函数． (1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则环．2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第21题)(12分)已知函数．(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求．3．(2014高考数学四川理科·第21题)已知函数其中为自然对数的底数．(Ⅰ)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；(Ⅱ)若，函数在区间内有零点，求的取值范围．4．(2014高考数学辽宁理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数，．证明：(1)存在唯一，使；(2)存在唯一，使，且对(1)中的．5．(2015高考数学新课标1理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)当为何值时，轴为曲线的切线；(Ⅱ)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．6．(2015高考数学天津理科·第20题)(本小题满分14分))已知函数，其中．(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程为实数)有两个正实根，求证：．7．(2015高考数学四川理科·第21题)已知函数，其中．(1)设是的导函数，评论的单调性；(2)证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解．8．(2015高考数学江苏文理·第19题)已知函数．(1)试讨论的单调性；(2)若(实数是与无关的常数)，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是 ，求的值．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围．10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：．11．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．12．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)已知函数(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．13．(2019·全国Ⅰ·理·第20题)已知函数，为的导数．证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．14．(2019·江苏·第19题)设函数、为的导函数．(1)若，，求的值；(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；(3)若，且的极大值为，求证:．题型五：导数与不等式的证明1．(2022年浙江省高考数学试题·第22题)设函数．(1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：(ⅰ)若，则；(ⅱ)若，则．(注：是自然对数的底数)2．(2014高考数学大纲理科·第22题)函数．(1)讨论的单调性；(2)设，证明：．3．(2015高考数学广东理科·第19题)(本小题满分14分)设，函数．(1)求的单调区间；(2)证明：在上仅有一个零点；(3)若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：．4．(2017年高考数学天津理科·第20题)设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数．(1)求的单调区间;(2)设,函数,求证:;(3)求证:存在大于的常数,使得对于任意的正整数,且满足．5．(2021年高考浙江卷·第22题)设a，b为实数，且，函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足．(注：是自然对数的底数)6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．8．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．9．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．题型六：导数与其他知识的交汇题型1．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．(2015高考数学湖南理科·第23题)已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．证明：(1)数列是等比数列;(2)若，则对一切，恒成立．3．(2015高考数学湖北理科·第22题)(本小题满分14分)已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数的单调区间，并比较与的大小；(Ⅱ)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(Ⅲ)令，数列，的前项和分别记为,,证明：．4．(2015高考数学广东理科·第21题)(本小题满分14分)数列满足,．(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足．5．(2023年天津卷·第20题)已知函数．(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：．6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第19题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．7．(2018年高考数学江苏卷·第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．(1)证明：函数与不存在“S点”；(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由． 题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题1．(2023年全国甲卷理科·第21题)已知函数(1)当时，讨论单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．2．(2014高考数学浙江理科·第22题)已知函数(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；(2)设若对恒成立，求的取值范围．3．(2014高考数学陕西理科·第23题)设函数，其中是的导函数．⑴，求的表达式；⑵若恒成立，求实数的取值范围；⑶设，比较与的大小，并加以证明．4．(2014高考数学福建理科·第20题)(本小题满分14分)已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．(1)求的值及函数的极值；(2)证明：当时，；(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．5．(2014高考数学北京理科·第18题)已知,(1)求证：(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值6．(2015高考数学新课标2理科·第21题)(本题满分12分)设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．7．(2015高考数学山东理科·第21题)设函数，其中．(Ⅰ)讨论函数极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若成立，求的取值范围．8．(2015高考数学北京理科·第18题)(本小题13分)已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)求证：当时，；(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值．9．(2016高考数学四川理科·第21题)设函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)10．(2016高考数学山东理科·第20题)(本小题满分13分)已知．(I)讨论的单调性；(II)当时，证明对于任意的成立．11．(2015高考数学福建理科·第20题)已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．题型八：导数的综合应用1．(2014高考数学课标2理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数=．(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，,求的最大值；(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)2．(2014高考数学湖北理科·第22题)为圆周率，为自然对数的底数．(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；(Ⅲ)将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．3．(2014高考数学江苏·第19题)已知函数，其中e是自然对数的底数．(1)证明：是R上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．4．(2015高考数学江苏文理·第17题)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为．如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数(其中为常数)模型．(1)求的值；(2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为．①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．OC5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤6．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．(Ⅰ)当时，(i)求曲线在点处的切线方程；(ii)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．7．(2019·浙江·第22题)已知实数，设函数，．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间； (Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．8．(2019·天津·理·第20题)设函数为的导函数．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，证明；(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．