2014-2023高考数学真题分项汇编专题16 解析几何选择题（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何选择题目录题型一：直线的方程1题型二：圆的方程2题型三：直线和圆的综合问题3题型四：椭圆9题型五：双曲线17题型六：抛物线36题型七：圆锥曲线的综合问题44题型一：直线的方程1．(2018年高考数学北京(理)·第7题)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．4【答案】C解析：是单位圆上的点，直线过定点，当与垂直时，即时，是最大值．2．(2014高考数学上海理科·第17题)已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是(　　)．A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解C．存在，使之恰有两解D．存在，使之有无穷多解【答案】B解析：易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量 与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B．3．(2014高考数学江西理科·第10题)如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(　　)(　　)【答案】C分析:因为,所以延长交于,过作垂直于在矩形中分析反射情况:由于,第二次反射点为在线段上,此时,第三次反射点为在线段上,此时,第四次反射点为在线段上,由图可知,选C． 题型二：圆的方程1．(2015高考数学新课标2理科·第7题)过三点，，的圆交轴于两点，则(　　)A．B．8C．D．10【答案】C解析：由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．2．(2022高考北京卷·第3题)若直线是圆的一条对称轴，则(　　)A．B．C．1D．【答案】A解析:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选,A．3．(2014高考数学江西理科·第9题)在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析:设直线:．因为,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,为准线的抛物线．圆C半径最小值为,圆面积的最小值为选A．题型三：直线和圆的综合问题1．(2020北京高考·第5题)已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)．A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第6题)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则(　　)A．1B．C．D．【答案】B解析：方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为 且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得．故选：B．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第11题)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】D 【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第5题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选：B．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．5．(2021高考北京·第9题)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得．故选：C．6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第6题)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】A解法一：由直线易知，，故圆的圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的取值范围为即所以，故选A．解法二：设，则点到直线的距离，令，则代入圆的方程整理得：利用方程有解条件，则有 注：此处也可利用线性规划寻求的范围解法三：利用三角换元设，则解法四：利用面积公式的坐标形式设则下同解法二7．(2014高考数学福建理科·第6题)直线与圆相交于两点，则是的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】解析：若直线与圆O：相交于A，B两点，则圆心到直线距离，，若，则，，则成立，即充分性成立．若，则，解得，则不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．8．(2015高考数学重庆理科·第8题)已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，．选C． 9．(2015高考数学山东理科·第9题)一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)A．或B．或C．或D．或【答案】D解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：．又因为光线与圆相切，所以，,整理：，解得：，或,故选D．10．(2015高考数学广东理科·第5题)平行于直线且与圆相切的直线的方程是(　　)A．或B．或C．或D．或【答案】A解析：设所求切线方程为，依题意有：，解得：，所以所求切线方程为或，故选A11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第4题)圆的圆心到直线的距离为1，则(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．题型四：椭圆1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆的离心率分别为．若，则(　　)A．B．C．D．【答案】A 解析：由，得，因此，而，所以．故选：A2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则(　　)．A．B．C．D．【答案】C解析：将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或(舍去)，故选：C．3．(2023年全国甲卷理科·第12题)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则(　　)A．B．C．D．【答案】B 解析：方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．4．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(　　)A．13B．12C．9D．6【答案】C解析:由题，，则， 所以(当且仅当时，等号成立)．故选：C．5．(2021年高考全国乙卷理科·第11题)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．6．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第10题)椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】，设，则，则，故， 又，则，所以，即，所以椭圆的离心率．故选：A．7．(2019·全国Ⅱ·理·第8题)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．8．(2019·全国Ⅰ·理·第10题)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】答案：B解析：如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以椭圆方程为． 9．(2019·北京·理·第4题)已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B．10．(2018年高考数学上海·第13题)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为(　　)A．B．B．D．【答案】B解析：，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第11题)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得由整理可得即 即即，所以，所以，故选C．法二：由双曲线的性质易知，，所以在中，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以，故选C．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第12题)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故选D．13．椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是Ａ．Ｂ．(　　)Ｃ．Ｄ．【答案】D解：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴半焦距，相应于焦点F的准线方程为∴，，则这个椭圆的方程是，选D．14．(2014高考数学大纲理科·第6题)已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A．B两点，若的周长为4，则C的方程为(　　)A．B．C．D． 【答案】A解析：如下图，的周长为，而离心率，所以，从而所求椭圆的方程为，故选A．15．(2017年高考数学浙江文理科·第2题)椭圆的离心率是(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,,．故选B．法二:．故选B．16．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A．17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知为坐标原点,是椭圆C:的左 焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.题型五：双曲线1．(2023年天津卷·第9题)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：如图，因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以，所以．设则，所以，所以．因,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D2．(2023年全国乙卷理科·第11题)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以．对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D．3．(2021年高考全国甲卷理科·第5题)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：因为，由双曲线的定义可得， 所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即．故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第8题)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为(　　)A．4B．8C．16D．32【答案】B解析：双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值： 故选：B．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．5．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第11题)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=(　　)A．1B．2C．4D．8【答案】A解析：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．6．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D．7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第11题)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为 D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率 8．(2021高考天津·第8题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．2D．3【答案】A解析：设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率．故选：A．9．(2021高考北京·第5题)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】B 解析：，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为．故选：B10．(2020天津高考·第7题)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．11．(2019·浙江·第2题)渐近线方程为的双曲线的离心率是(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，则双曲线是等轴双曲线，离心率．故选C．12．(2019·全国Ⅲ·理·第10题)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则．，故选A． 【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．13．(2019·全国Ⅱ·理·第11题)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵，∴，为以为直径的圆的半径，∴为圆心．∴，又点在圆上，∴，即，∴，∴，故选A．【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．14．(2018年高考数学浙江卷·第2题)双曲线的焦点坐标是(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以焦点坐标为．15．(2018年高考数学天津(理)·第7题)已知双曲线的离心率为2 ，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：如图，过点分别向渐近线作垂线，垂足分别为，则是梯形的中位线，所以，又为点到渐近线的距离，所以，所以，由离心率，所以，，所以，所以双曲线方程为．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第5题)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为，故选A．17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第11题)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则(　　) A．B．C．D．【答案】B解析：双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B．18．(2014高考数学重庆理科·第8题)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：根据双曲线的性质不妨设点在右支上，则由题意即19．(2014高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析:双曲线的其中一条渐近线与直线平行,所以且左焦点为,所以,解得,,故双曲线方程为．故选A．20．(2014高考数学山东理科·第10题)已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为(　　) A．B．C．D．【答案】解析：因为，所以，双曲线的渐近线方程为．21．(2014高考数学课标1理科·第4题)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为(　　)A．B．3C．D．【答案】A解析:由:,得,设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A．．22．(2014高考数学湖北理科·第9题)已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A．B．C．3D．2【答案】A解析：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c．由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|．而|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2可得．令a1＝2ccosθ，，即＝＝＝．故最大值为，故选A． 23．(2014高考数学广东理科·第4题)若实数满足则曲线与曲线的(　　)A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D．解析：由于所以，，所以这两条曲线均为双曲线．相等，故而选D．24．(2014高考数学大纲理科·第9题)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上，若，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：如下图，设，则根据双曲线的第一定义可得，所以，又因为离心率，所以，在中，由余弦定理得，故选A．25．(2015高考数学重庆理科·第10题)设双曲线的右焦点为，右顶点为,过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由 得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A．26．(2015高考数学新课标2理科·第11题)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．27．(2015高考数学新课标1理科·第5题)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是(　　)A．(-，)B．(-，)C．(，)D．(，)【答案】A解析：由题知，，所以==，解得，故选A．28．(2015高考数学天津理科·第6题)已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D． 【答案】D解析：双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D．29．(2015高考数学四川理科·第5题)过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则(　　)B．C．6D．【答案】D解析：双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：．选D．30．(2015高考数学湖北理科·第8题)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则(　　)A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，【答案】D解析：依题意，，，因为，由于，，，所以当时，，，，，所以；当时，，，而，所以，所以．所以当时，；当时，．31．(2015高考数学广东理科·第7题)已知双曲线的离心率，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线C的方程为A．B．C．D．【答案】C解析：因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以， 所以所求双曲线方程为，故选C32．(2015高考数学福建理科·第3题)若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于(　　)A．11B．9C．5D．3【答案】B解析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．33．(2015高考数学安徽理科·第4题)下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C．34．(2017年高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的左焦点为,离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】B．【解析】由题意得所以,又因为,所以,则双曲线方程为,故选B．35．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为又椭圆的焦点坐标为所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B． 【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．36．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为(　　)A．2B．C．D．【答案】A【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想．【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得．解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为 由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得．【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容(理科)，一般与三角形﹑直线与圆﹑向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降．37．(2016高考数学浙江理科·第7题)已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则(　　)A．B．C．D．【答案】A【命题意图】本题主要考查椭圆、双曲线的定义与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、推理论证能力．解析：由于，，则，故，又，所以．故选A．38．(2016高考数学天津理科·第6题)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：渐近线，设，则，∴，∴，∴ ，∴，∴．考点：(1)8．6．2双曲线的标准方程39．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为(　　)A．B．C．D．2【答案】A【解析1】由题可令，则所以，，所以，所以故选Ａ．【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．40．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是(　　)(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】表示双曲线，则，∴由双曲线性质知：，其中是半焦距∴焦距，解得∴故选A． 题型六：抛物线1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则(　　)A．7B．6C．5D．4【答案】D解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故．故选：D．2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线的焦点到直线的距离为，则(　　)A．1B．2C．D．4【答案】B解析:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第4题)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=(　　)A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．故选：C．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第5题)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为(　　)A．B．C．D．【答案】B 解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第5题)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(　　)A．2B．C．3D．【答案】B解析：由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以．故选：B6．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线(　　)．A．经过点B．经过点C．平行于直线D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第8题)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则(　　) A．B．C．D．【答案】D解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，，，，则，故选D．8．(2014高考数学四川理科·第10题)已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，则△与△面积之和的最小值是(　　)A．2B．3C．D．【答案】B解析：设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点(不妨假设)由，所以又因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故于是当且仅当时取“”所以与面积之和的最小值是9．(2014高考数学辽宁理科·第10题)已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B．记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：抛物线C：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设B(m，n)，抛物线在第一象限的方程为，所以，所以过点B的切线斜率为，而切线又过点A，所以①，而点B又在满足方程，即②，将其代入到①式中，解得m=n=8，所以BF的斜率为．解析2：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设直线AB的方程为，与方程联立，得，化简 ，，所以k=2，(或k=-1舍去)，将k=2代入中，可求得y=8，从而解得x=8，故B(8,8)，所以BF的斜率为．10．(2014高考数学课标2理科·第10题)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。11．(2014高考数学课标1理科·第10题)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=(　　)A．B．C．3D．2【答案】C【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵∴,又,∴,由抛物线定义知选C12．(2015高考数学浙江理科·第5题)如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是(　　)(　　)A．B．C．D．【答案】A． 解析：，故选A．13．(2015高考数学四川理科·第10题)设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设．当直线的斜率存在时，设斜率为．设，则，相减得．由于，所以，即．圆心为，由得，所以，即点M必在直线上．将代入得．因为点M在圆上，所以．又(由于斜率不存在，故，所以不取等号)，所以．选D．14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10题)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】法一:设,,直线方程为取方程,得 ∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当(或)时,取得等号．法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为根据焦点弦长公式有:．故选A．法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而则,代入抛物线中,可得设对应的参数分别为,则有所以同理可得所以．故选A．法四:设点,则设直线的方程为联立直线与抛物线方程消去可得所以,所以 同理所以(当且仅当时等号成立)小结:本质回归抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．于是本题可以直接利用这个性质秒杀,所以．椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则．其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．15．(2016高考数学四川理科·第8题)设为坐标原点，是为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：由可知，设，则所以法二如图，由题可知，设点坐标为 显然，当时，；时，，要求最大值，不妨设．则，当且仅当等号成立故选C．16．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为(　　)(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：设，， 点在抛物线上，∴……①点在圆上，∴……②点在圆上，∴……③联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．故选B．题型七：圆锥曲线的综合问题1．(2023年全国甲卷理科·第8题)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A．B两点，则(　　)AB．C．D．【答案】D解析：由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长．故选：D2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是(　　)A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线【答案】C解析:由题意得，即，对其进行整理变形：， ，，，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．3．(2019·天津·理·第5题)已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：，，，所以双曲线的两条渐近线方程为，所以，则双曲线的离心率．4．(2019·北京·理·第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是(　　)A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】由得，，，所以可为的整数有0，－1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，0)， (1，1)，(－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确；如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．5．(2014高考数学福建理科·第9题)设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：设椭圆上的点为，则∵圆的圆心为，半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为，∴P，Q两点间的最大距离是．故选：D．