2014-2023高考数学真题分项汇编专题06 数列小题（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—数列小题目录题型一：数列的概念与通项公式1题型二：等差数列8题型三：等比数列12题型四：等差与等比数列综合17题型五：数列的求和19题型六：数列与数学文化22题型七：数列的综合应用26题型一：数列的概念与通项公式一、选择题1．(2016高考数学浙江理科·第6题)如图，点列分别在某锐角的两边上，且，(表示点与不重合)．若，为的面积，则(　　)(　　)A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列【答案】A【命题意图】本题考查等差数列的概念、平行线的性质等基础知识，意在考查学生分析问题和解决问题的能力．解析：不妨设，过点，分别作直线的垂线，高线分别记为，根据平行线的性质，所以成等差数列，又，所以是等差数列．故选A．2．(2019·浙江·第10题)已知，，数列满足，，，则(　　)35学科网（北京）股份有限公司 A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】A【解析】解法一：对于B，由，得．取，则，所以，不合题意；对于C，由，得或．取，则，所以，不合题意；对于D，由，得．取，则，所以，不合题意．对于A，，，，，递增，当时，，，迭乘法得，，A正确．故选A．解法二:借助图形35学科网（北京）股份有限公司 其中选项中均含有不动点，由于的不确定性，故都不能说明．故选A．3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)A．B．C．D．【答案】A 【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力． 不妨设(其中) 则有,因为,所以 由等比数列的前项和公式可得 因为,所以 所以即,因为 所以,故 所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意 当时,,故满足题意的的最小值为． 解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出． 解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为: 所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即 又,所以,所以,所以,所以 当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合题35学科网（北京）股份有限公司 意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性 当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A． 事实上验证:或或或或或 只有成立． 点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作． 解法三:检验法 由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验 选项D:若,由,知第项排在第14行,第19个 由是奇数知不能写成整数幂; 选项C:若,由知,第项排在第21行,第10个 是大于1的奇数,不能写成整数幂; 选项B,若,由知第项排在第26行,第个 ,同理,不能写成整数幂; 选项A时,当时,由,可解出 所以这前和为:,符合题意,故选A． 解法四:直接法 由能写成的整数幂可知,,,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时． 解法五:二进制转化法 按照上面形式重新排列后,第层:,的和为 把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐) 第1层:1 第2层:11 第3层:111 第层:1111 由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂? 为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得: 第1层:10 第2层:100 35学科网（北京）股份有限公司 第3层:1000 第层:1000 此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可! 所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂 设第层的前个数的和为,即 后面的方法同“解法四”． 【考点】等差数列、等比数列的求和． 【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断．4．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有(　　)A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.000011111011101101001110110100110100011101101001105．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足．记数列的前n项和为，则(　　)A．B．C．D．35学科网（北京）股份有限公司 【答案】A解析:因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以，即．故选A．二、填空题1．(2022高考北京卷·第15题)己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④解析:由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；35学科网（北京）股份有限公司 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对．故答案为：①③④．2．(2015高考数学新课标2理科·第16题)设是数列的前项和，且，，则________．【答案】解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．考点：等差数列和递推关系．3．(2017年高考数学上海（文理科）·第14题)已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________．【答案】2【解析】．4．(2016高考数学浙江理科·第13题)设数列的前项和为．若，则，．【答案】【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、通项公式，通项与前项和之间的关系等知识，意在考查学生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力．解析：由于，解得，由得，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以．35学科网（北京）股份有限公司 题型二：等差数列一、选择题1．(2020北京高考·第8题)在等差数列中，，．记，则数列(　　)．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，．故数列中存在最大项，且最大项为．故选：B．2．(2019·全国Ⅰ·理·第9题)记为等差数列的前项和．已知，，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：，所以，故选A．3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第4题)记为等差数列的前项和，,．则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：∵为等差数列的前项和，，，∴，把，代入得∴，故选B．35学科网（北京）股份有限公司 4．设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于(　　)Ａ．12Ｂ．24Ｃ．36Ｄ．48【答案】B解：是等差数列，∴，则这个数列的前6项和等于，选B．5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题)已知等差数列前9项的和为27，，则(　　)A100B99C98D97【答案】C【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．6．(2014高考数学福建理科·第3题)等差数列的前n项和为，若，则等于(　　)A．8B．10C．12D．14【答案】解析：由题意可得，解得，∴公差，，故选：C．7．(2015高考数学重庆理科·第2题)在等差数列中，若，，则(　　)A．B．0C．1D．6【答案】B解析：由等差数列的性质得，选B．8．(2015高考数学北京理科·第6题)设是等差数列．下列结论中正确的是(　　)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C解析：先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，故选C．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第4题)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　)A．B．C．D．【答案】C 【解析】设公差为,,,联立解得,故选C． 35学科网（北京）股份有限公司 秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C． 【考点】等差数列的基本量求解 【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则．10．(2014高考数学辽宁理科·第8题)设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：根据题意可得∵数列为递减数列,∴，．解析2：由数列为递减数列,根据指数函数的性质，知，得，或，当时，，所以，，当时，，所以，综上：．二、填空题1．(2019·全国Ⅲ·理·第14题)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．【答案】4．【解析】因，所以，即，所以．【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．2．(2019·江苏·第8题)已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是.【答案】16【解析】由，得，从而，即，解得，所以.3．(2019·北京·理·第10题)设等差数列的前n项和为，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．【答案】(1)0；(2)-10．【解析】等差数列中，，得，则公差，∴，由等差数列的性质得时，，当时，大于0，所以的最小值为或35学科网（北京）股份有限公司 ，值为．4．(2018年高考数学上海·第6题)记等差数列的前项和为．若，，则．【答案】14解析：，，，，．5．(2018年高考数学北京（理）·第9题)设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．【答案】解析：，∴，∴．6．(2014高考数学北京理科·第12题)若等差数列满足,,则当=时,的前项和最大．【答案】8解析：，，，∴时，数列的前n项和最大．7．(2015高考数学陕西理科·第13题)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】解析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．8．(2015高考数学广东理科·第10题)在等差数列{}中，若，则=．【答案】10解析：因为是等差数列，所以，，即，故应填入109．(2016高考数学江苏文理科·第8题)已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．【答案】．解析：设公差为，则由题意可得，，解得，，则．10．(2016高考数学北京理科·第12题)已知为等差数列，为其前项和，若，则=__________．【答案】解析：∵∴，∵，∴，∴．35学科网（北京）股份有限公司 题型三：等比数列一、选择题1．(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为(　　)A．3B．18C．54D．152【答案】C解析：由题意可得：当时，，即，①当时，，即，②联立①②可得，则．故选：C．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和，若，，则(　　)．A．120B．85C．D．【答案】C解析：方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；35学科网（北京）股份有限公司 当时，，与矛盾，舍去．故选：C．3．(2023年全国甲卷理科·第5题)设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则(　　)A．B．C．15D．40【答案】C解析：由题知,即,即,即．由题知,所以．所以．故选:C．4．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第8题)已知等比数列的前3项和为168，，则(　　)A．14B．12C．6D．3【答案】D解析：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以．故选：D．5．(2019·全国Ⅲ·理·第5题)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(　　)A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，35学科网（北京）股份有限公司 ，故选C．另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出．【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题大有裨益．6．(2018年高考数学浙江卷·第10题)已知成等比数列，且，若，则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：由的结构，想到对数放缩最常用公式，所以，得到，于是公比．若，则，而，即，矛盾，所以，于是，故选B．7．(2014高考数学重庆理科·第2题)对任意等比数列,下列说法一定正确的是(　　)A．成等比数列B．成等比数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D解析：根据等比数列中等比中项的性质可得，如果数列为等比数列，即若则有8．(2015高考数学新课标2理科·第4题)已知等比数列满足，，则(　　)A．21B．42C．63D．84【答案】B解析：设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．9．(2015高考数学湖北理科·第5题)设，．若：成等比数列；：，则(　　)A．是的充分条件，但不是的必要条件B．是的必要条件，但不是的充分条件C．是的充分必要条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案】A35学科网（北京）股份有限公司 解析：对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．二、填空题1．(2023年全国乙卷理科·第15题)已知为等比数列，，，则______．【答案】解析：设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：．2．(2019·全国Ⅰ·理·第14题)记为等比数列的前项和．若，，则．【答案】解析：由，得，所以，又因为，所以，．3．(2014高考数学广东理科·第13题)若等比数列的各项均为正数，且，则【答案】．解析：由等比数列的性质得，．依题意有，运用对数的运算可得所求等式左边4．(2014高考数学江苏·第7题)在各项均为正数的等比数列中，，则的值是．【答案】4解析：设公比为，因为，则由得，，解得或(舍)，所以．5．(2015高考数学安徽理科·第14题)已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于．【答案】35学科网（北京）股份有限公司 解析：由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和．6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设等比数列满足,，则．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得所以．7．(2017年高考数学江苏文理科·第9题)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=____． 【答案】32 解析:当时,显然不符合题意; 当时,,解得,则． 【考点】等比数列通项 【点评】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第15题)设等比数列满足，，则的最大值为．【答案】64【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．∴，解得：．故，∴35学科网（北京）股份有限公司 当或时，取到最小值，此时取到最大值．所以的最大值为64．题型四：等差与等比数列综合一、选择题1．(2015高考数学浙江理科·第3题)已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则(　　)A．B．C．D．【答案】B．解析：∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B．2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A．【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【点评】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．二、填空题3．(2014高考数学天津理科·第11题)设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和．若成等比数列,则的值为_________．【答案】 解析:由已知得,即,解得． 4．(2014高考数学安徽理科·第12题)数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则．35学科网（北京）股份有限公司 【答案】1解析：设数列的公差为，由题意可得，即，所以，所以．5．(2015高考数学湖南理科·第14题)设为等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则．【答案】．分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴．考点：等差数列与等比数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想．6．(2017年高考数学北京理科·第10题)若等差数列和等比数列满足,,则_______．【答案】【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比为和,,求得,那么．【考点】等差数列和等比数列【点评】在等差、等比数列中,各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．7．(2020江苏高考·第11题)设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意．等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，35学科网（北京）股份有限公司 通过对比系数可知，故．故答案为：题型五：数列的求和一、选择题1．(2014高考数学大纲理科·第10题)等比数列中，，则数列的前8项和等于(　　)A．6B．5C．4D．3【答案】C解析：依题意可得，所以，所以，所以数列为等差数列，从而所求的前8项和为，故选C．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第6题)数列中，，，若，则(　　)A．2B．3C．4D．5【答案】C解析：在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得．故选：C．【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题．二、填空题35学科网（北京）股份有限公司 1．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题)已知数列{an}满足，则S3=________．【答案】10解析：因为，所以．即．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．3．(2019·上海·第8题)已知数列前n项和为，且满足，则______.【答案】【解析】由得：()【点评】本题主要考查数列求和，的递推式．∴为等比数列，且，，∴.4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第14题)记为数列的前项和．若,则．【答案】解析：为数列的前项和．若，①当时，，解得，当时，，②，由①﹣②可得，∴，35学科网（北京）股份有限公司 ∴是以为首项，以2为公比的等比数列，∴．5．(2015高考数学江苏文理·第14题)设向量()，则的值为_______．【答案】解析：akak+1因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，因此(akak+1)6．(2015高考数学江苏文理·第11题)设数列满足，且(),则数列前10项的和为_______．【答案】解析：由题意得：所以7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第15题)等差数列的前项和为，，，则．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有：，解得，35学科网（北京）股份有限公司 数列的前n项和，裂项有：，据此：。8．(2016高考数学上海理科·第11题)无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意，，则的最大值为________．【答案】4解析：要满足，说明的最大值为，最小值为所以涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成．题型六：数列与数学文化一、选择题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)(　　)A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分35学科网（北京）股份有限公司 别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以．故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．2．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，且直线的斜率为0．725，则(　　)(　　)A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9【答案】D解析：设，则，依题意，有，且，所以，故．故选D．3．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差35学科网（北京）股份有限公司 数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64B．96C．128D．160【答案】C解析：由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以．故选：C．4．(2018年高考数学北京(理)·第4题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：单音的频率构成以为首项，为公比的等比数列，则．5．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得．解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴．二、填空题1．(2023年北京卷·第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所35学科网（北京）股份有限公司 有项的和为____________．【答案】①．48②．384解析：方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，则，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；又因为，则；空2：设后7项公比为，则，解得，可得，所以．故答案为：48；384．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______．【答案】5解析:(1)对折次可得到如下规格：，，，，，共种；35学科网（北京）股份有限公司 (2)由题意可得，，，，，，设，则，两式作差得，因此，,故答案为；．题型七：数列的综合应用一、选择题1．(2023年北京卷·第10题)已知数列满足，则(　　)A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立【答案】B解析：法1：因为，故，对于A，若，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立，由数学归纳法可得成立．35学科网（北京）股份有限公司 而，，，故，故，故为减数列，注意故，结合，所以，故，故，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立．对于B，若可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立．而，，，故，故，故为增数列，若，则恒成立，故B正确．对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立．35学科网（北京）股份有限公司 而，故，故为减数列，又，结合可得：，所以，若，若存在常数，使得恒成立，则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误．对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立由数学归纳法可得成立．而，故，故为增数列，又，结合可得：，所以，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．故选：B．法2：因为，令，则，令，得或；35学科网（北京）股份有限公司 令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，解得或或，注意到，，所以结合的单调性可知在和上，在和上，对于A，因为，则，当时，，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，即，因为在上，所以，则为递减数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故，所以在上单调递增，故，故，即，假设存常数，使得恒成立，取，其中，且，35学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故A错误；对于B，因为，当时，，，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，又当时，，即，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，此时，取，满足题意，故B正确；对于C，因为，则，注意到当时，，，猜想当时，，当与时，与满足，35学科网（北京）股份有限公司 假设当时，，当时，所以，综上：，易知，则，故，所以，因为在上，所以，则为递减数列，假设存在常数，使得恒成立，记，取，其中，则，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C错误；对于D，因为，当时，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，因为，令，则，35学科网（北京）股份有限公司 因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，所以，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故D错误．故选：B．2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是(　　)A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．【答案】D解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，35学科网（北京）股份有限公司 ．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D3．(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C解析:设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数．若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列．所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”．所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件．故选,C．4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是(　　)35学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C解析：由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．5．(2023年全国乙卷理科·第10题)已知等差数列的公差为，集合，若，则(　　)A．－1B．C．0D．【答案】B解析：依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，35学科网（北京）股份有限公司 所以，．故选：B二、填空题1．(2018年高考数学江苏卷·第14题)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为．【答案】27解析：设，则＝＝＝由得，，所以，即．所以只需研究是否有满足条件的解，此时，＝＝，，m为等差数列的项数，且m＞16．由＞，＞0，所以，，所以满足条件的最小值为27．35学科网（北京）股份有限公司