2014-2023高考数学真题分项汇编专题04 函数解答题（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题目录题型一：函数概念及其性质1题型二：函数的零点问题9题型三：函数的应用14题型一：函数概念及其性质1．(2020江苏高考·第19题)已知关于的函数与在区间上恒有．(1)若，求的表达式；(2)若，求的取值范围；(3)若求证：．【答案】(1)；(2)；(3)证明详见解析【解析】(1)由题设有对任意的恒成立．令，则，所以．因此即对任意的恒成立，所以，因此．故．(2)令，．又．若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意．当时，，符合题意．当时，在上递减，在上递增，则，即，符合题意．综上所述，．由17学科网（北京）股份有限公司 当，即时，在为增函数，因为，故存在，使，不符合题意．当，即时，，符合题意．当，即时，则需，解得．综上所述，的取值范围是．(3)因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立．故对任意恒成立令，当，，此时，当，，但对任意的恒成立．等价于对任意的恒成立．的两根为，则，所以．令，则．构造函数，，所以时，，递减，．所以，即．2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数，函数．(1)若，求函数的反函数；(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【答案】解析：(1)因为，所以，……3分得或，且．17学科网（北京）股份有限公司 因此，所求反函数为，或．……6分(2)当时，，定义域为R，故函数是偶函数；……8分当时，，定义域为，，故函数是奇函数；……11分当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14分3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数，其中，(1)求函数的定义域；(用区间表示)(2)讨论在上的单调性；(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示)．【答案】解：(1)依题意有故均有两根记为注意到，故不等式的解集为，即(2)令则令，注意到，故方程有两个不相等的实数根记为，且注意到结合图像可知在区间上，单调递增在区间上，单调递减故在区间上单调递减，在区间上单调递增．17学科网（北京）股份有限公司 (3)在区间上，令，即，即方程的判别式，故此方程有4个不相等的实数根，记为注意到，故，，故，故故结合和函数的图像可得的解集为附：的大致图像为的大致图像为17学科网（北京）股份有限公司 4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数，记是在区间上的最大值．(1)证明：当时，；(2)当，满足，求的最大值．【答案】(1)详见解析；(2)．解析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知，分类讨论的取值范围即可求解．；(2)分析题意可知，再由可得，，即可得证．解析：(1)由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，∴，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；(2)由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为．．5．(2015高考数学上海理科·第23题)对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，；(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数；(2)设，证明对任意，存在，使得；(3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；解析：(1)证明：，17学科网（北京）股份有限公司 所以是以为余弦周期的余弦周期函数；(2)当或者时，由于单调递增，所以存在或使得成立；当，构造函数，则，，从而，所以存在，使得，即存在，使得成立，证毕．(3)先证必要性为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；再证充分性为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；下证：对任意都有．由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即有，所以，即或所以或①若，由，，可得．所以，这与函数为增函数矛盾，舍去；②若，由，，可得，所以，即．由此，对任意都有．6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在上的函数满足:对于任意的、,当时,都有．(1)若,求的取值范围;(2)若为周期函数,证明:是常值函数;(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,是的最大值．函数．证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．【答案】见解析【解析】(1)记,若,,则,∵,,∴;(2)若是周期函数,记其周期为,任取,则有,又由题意,对任意,,∴,又∵,,并且17学科网（北京）股份有限公司 所以对任意,为常数,证毕．(3)充分性:若为常值函数,记,设的一个周期为,则,则对任意,,故是周期函数成立．必要性:若是周期函数,记其一个周期为．首先证明符号不变．(i)设集合,若存在使得,则,且对任意均有,因为,∴,∴对任意,,恒成立,所以是常数函数．(ii)若存在,使得,且,则由题可知,,那么必然存在正整数使得,,∴,且,又,而,矛盾．综上,恒成立或恒成立或恒成立． 其次证明是常数函数．(i)若恒成立．任取,则必存在,使得,即,∵∴,,因为,,因此若,必有,且,而由第(2)问证明可知对任意,为常数．(ii)若恒成立．任取,则必存在,使得,即,∵∴,,因为,,因此若,必有,且,而由第(2)问证明可知对任意,为常数．综上所述,必要性证毕．7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知，函数17学科网（北京）股份有限公司 ，其中．(Ⅰ)求使得等式成立的的取值范围；(Ⅱ)(ⅰ)求的最小值；(ⅱ)求在区间上的最大值．【答案】【命题意图】本题主要考查函数的单调性与最值的求法、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．解析：(Ⅰ)由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．(Ⅱ)(ⅰ)设函数，，则，，所以，由的定义知，即(ⅱ)当时，，当时，．所以8．已知，函数．(1)当时，解不等式；(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．【答案】(1)．(2)．(3)．解析：(1)由，得解得．(2)，，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．17学科网（北京）股份有限公司 当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．于是满足题意的．综上，的取值范围为．(3)当时，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．题型二：函数的零点问题1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．(Ⅰ)证明：函数在上有唯一零点；(Ⅱ)记x0为函数在上的零点，证明：(ⅰ)；(ⅱ)．【答案】(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析．17学科网（北京）股份有限公司 解析：(I)在上单调递增，，所以由零点存在定理得在上有唯一零点；(II)(i)，，令一方面：，在单调递增，，，另一方面：，所以当时，成立，因此只需证明当时，因为当时，，当时，，所以，在单调递减，，，综上，．(ii)，，，，因为，所以，，只需证明，即只需证明，令，则，17学科网（北京）股份有限公司 ，即成立，因此．2．(2019·上海·第18题)已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，有零点，求的范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)当时，；代入原不等式：；即：移项通分：，得：；（2）依题意：在上有解参编分离：，即求在值域，在单调递增，；，故：.3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数．(1)设，．①求方程的根；②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；(2)若，，函数有且只有1个零点，求的值．【答案】(1)①；②；(2)；【官方解答】(1)因为，所以．①方程，即，亦即，所以，于是，解得．17学科网（北京）股份有限公司 ②由条件知．因为对于恒成立，且，所以对于恒成立．而，且，所以，故实数的最大值为4．(2)因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点．因为，又由，，知，所以有唯一解．令，则，从而对任意，，所以是上的单调增函数．于是当时，；当时，．因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数．下证．若，则，于是．又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为．因为，所以．又，所以，与“0是函数的唯一零点”矛盾．因此，．若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾．因此，．于是，故，所以．17学科网（北京）股份有限公司 民间解答：(1)①，由可得，则，即，则，；②由题意得恒成立，令，则由可得，此时恒成立，即恒成立，∵时，当且仅当时等号成立，因此实数的最大值为．(2)，由，可得，令，则递增，而，因此时，因此时，，，则；时，，，则；则在递减，递增，因此最小值为，①若，时，，，则；logb2时，，，则；因此且时，，因此在有零点，且时，，因此在有零点，则至少有两个零点，与条件矛盾；②若，由函数有且只有1个零点，最小值为，可得，由，因此17学科网（北京）股份有限公司 因此，即，即，因此，则．题型三：函数的应用1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为米．(1)求桥的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价(万元)、桥墩每米造价(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?【答案】(1)米(2)米【解析】(1)由题意得米(2)设总造价为万元，，设，(0舍去)17学科网（北京）股份有限公司 当时，；当时，，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩与的总造价最低．2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：，而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1)；(2)，在时单调递减，在时单调递增．实际意义为：当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．解析：(1)由题意得且．化简得，即．所以或．综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．(2)①若，则．②若，则．所以．当时，递减；当时，的对称轴为，所以递减，17学科网（北京）股份有限公司 递增．综上所述，递减，递增．即：当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米)．甲的路线是，速度是千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时．乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地．(1)求与的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为千米．当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由．【答案】(1)，；(2)；最大值不超过3．解析：(1)由题中条件可知小时，此时甲与点距离为千米，由余弦定理可知，所以；(2)易知，当时乙到达位置，所以①当时，；②当时，；综合①②，当时，单调递减，此时函数的值域为；当时，单调递增，此时函数的值域为；当时，单调递减，此时函数的值域为；17学科网（北京）股份有限公司 由此，函数在上的值域为，而，即，所以在上的最大值没有超过3．17学科网（北京）股份有限公司