2014-2023高考数学真题分项汇编专题11 复数（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—复数目录题型一：复数的有关概念1题型二：复数的几何意义4题型三：复数的四则运算7题型四：复数的其他问题16题型一：复数的有关概念一、选择题1．(2023年北京卷·第2题)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数(　　)AB．C．D．【答案】D解析：在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，．故选：D2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第2题)已知，则(　　)A．B．C．0D．1【答案】A解析：因为，所以，即．故选：A．3．(2023年全国乙卷理科·第1题)设，则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：由题意可得， 则．故选：B．4．(2021年高考浙江卷·第2题)已知，，(i为虚数单位)，则(　　)A．B．1C．D．3【答案】C解析:，利用复数相等的充分必要条件可得：,故选C．5．(2020年浙江省高考数学试卷·第2题)已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=(　　)A．1B．–1C．2D．–2【答案】C解析：因为为实数，所以，故选：C6．(2015高考数学新课标2理科·第2题)若为实数且，则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：由已知得，所以，解得，故选B．7．(2015高考数学新课标1理科·第1题)设复数满足，则(　　)A．1B．C．D．2【答案】A解析：由得，==，故|z|=1，故选A．8．(2015高考数学湖北理科·第1题)为虚数单位，的共轭复数为(　　)A．B．C．1D．【答案】A解析：,所以的共轭复数为，选A．9．(2015高考数学广东理科·第2题)若复数(是虚数单位)，则=A．B．C．D．【答案】A解析：因为，所以，故选A．10．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第3题)设有下面四个命题:若复数满足,则;:若复数满足,则;:若复数满足,则;:若复数,则．其中的真命题为(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】令,则由得,所以,正确;当时,因为,而知,不正确; 由知不正确;对于,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故正确,故选B．11．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第2题)设复数z满足,则(　　)．A．B．C．D．2【答案】C【解析】法一：由可得，所以，故选C．法二：由可得，故选C．【考点】复数的模12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设，其中是实数，则(　　)(A)1(B)(C)(D)2【答案】B【解析】由可知：，故，解得：．所以，．故选B．二、填空题1．(2019·浙江·第11题)复数(为虚数单位)，则．【答案】【解析】解法一：由于，则．解法二：．2．(2019·天津·理·第9题)是虚数单位，则的值为．【答案】解析：解法1：．解法2：3．(2019·江苏·第2题)已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是______．【答案】2 【解析】因为的实部为，.4．(2018年高考数学江苏卷·第2题)若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为．【答案】2解析：因为，则，则z的实部为2．5．(2018年高考数学上海·第5题)已知复数满足(是虚数单位)，则．【答案】5解析：．6．(2017年高考数学江苏文理科·第2题)已知复数其中i是虚数单位,则的模是________．【答案】．解析:,故答案为．【考点】复数的模7．(2016高考数学天津理科·第9题)已知是虚数单位，若，则的值为_____________．【答案】解析：，，∴，，8．(2016高考数学上海理科·第2题)设，期中为虚数单位，则=______________________．【答案】解析：．9．(2020江苏高考·第2题)已知是虚数单位，则复数的实部是_____．【答案】3【解析】复数,复数的实部为3．故答案为：3．10．(2019·上海·第2题)已知且满足，求________.【答案】【解析】，. 题型二：复数的几何意义一、选择题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第1题)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A解析:，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选A．2．(2022高考北京卷·第2题)若复数z满足，则(　　)A．1B．5C．7D．25【答案】B解析:由题意有，故．故选,B．3．(2019·全国Ⅱ·理·第2题)设，则在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵，∴，对应坐标，是第三象限．4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第1题)在复平面内，对应的点位于(　　)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A解析：因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限．故选：A．5．(2018年高考数学北京(理)·第2题)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D解析：，则，其对应的点为，位于第四象限．6．(2014高考数学重庆理科·第1题)复平面内表示复数的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A解析：根据复数的乘法分配律可得，因此该复数在复平面内所对应的坐标为 ，它在第一象限。7．(2015高考数学安徽理科·第1题)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B解析：由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B．8．(2019·全国Ⅰ·理·第2题)设复数满足，在复平面内对应的点为，则(　　)A．B．C．D．【答案】答案：C解析：设，则．9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题)已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】在复平面内对应的点坐标为：又在复平面内对应的点在第四象限所以所以故选A．10．(2020北京高考·第2题)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则(　　)．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，．故选：B．二、填空题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第15题)设复数，满足，，则=__________．【答案】解析：方法一：设，，，，又，所以，， ．故答案为：．方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴．2．(2016高考数学北京理科·第9题)设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则=_______________．【答案】解析：，∵其对应点在实轴上，∴，．题型三：复数的四则运算一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第2题)已知，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析:因为，故，故,故选C．2．(2021年高考全国乙卷理科·第1题)设，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：设，则，则， 所以，，解得，因此，．故选：C．3．(2021年高考全国甲卷理科·第3题)已知，则(　　)AB．C．D．【答案】B解析：，．故选：B．4．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第1题)若z=1+i，则|z2–2z|=(　　)A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】由题意可得：，则．故．故选：D．5．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第2题)复数虚部是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为，所以复数的虚部为．故选：D．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题．6．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第2题)(　　)A．1B．−1C．iD．−i【答案】D解析：故选：D 7．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第2题)=(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：8．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第1题)若，则(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】故选：C9．(2022年浙江省高考数学试题·第2题)已知(为虚数单位)，则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析:，而为实数，故，故选,B．10．(2022新高考全国II卷·第2题)(　　)A．B．C．D．【答案】．D解析：．故选D．11．(2022新高考全国I卷·第2题)若，则(　　)A．B．C．1D．2【答案】D解析：由题设有，故，故，故选：D12．(2021高考北京·第2题)在复平面内，复数满足，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：由题意可得：．故选：D．13．(2020天津高考·第10题)是虚数单位，复数_________． 【答案】【解析】．故答案为：．14．(2019·全国Ⅲ·理·第2题)若，则(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】根据复数运算法则，，故选D．另解：由常用结论，得，则，故选D．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第2题)(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：，故选D．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第1题)(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：，故选D．17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第1题)设,则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：，则，故选：C．18．(2014高考数学天津理科·第1题)是虚数单位,复数(　　)A．B．C．D．【答案】A解析:直接计算．故选A．19．(2014高考数学山东理科·第1题)已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则 (　　)A．B．C．D．【答案】解析：由已知得，即，所以．20．(2014高考数学辽宁理科·第2题)设复数z满足，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：∵，∴，∴．解析2：∵，∴，∴，∴．解析3：设，代入到已经中，整理，根据复数相等的概念得，解得a=2，b=3，所以．备注：高频考点21．(2014高考数学课标2理科·第2题)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则(　　)A．-5B．5C．-4+iD．-4-i【答案】A解析：由题意知：，所以-5，故选A。22．(2014高考数学课标1理科·第2题)=(　　)A．B．C．D．【答案】D解析:∵=,选D．考点:(1)复数的代数运算(2)转化思想难度:A备注:高频考点23．(2014高考数学江西理科·第1题)是的共轭复数．若,(为虚数单位),则(　　)A．B．C．D．【答案】D分析:设,则由得:,由得:,所以选D．24．(2014高考数学湖南理科·第1题)满足(为虚数单位)的复数(　　)A．B．C．D． 【答案】B解析：由题可得，故选B．25．(2014高考数学湖北理科·第1题)为虚数单位，则(　　)A．-1B．1C．D．【答案】A解析：．26．(2014高考数学广东理科·第2题)已知复数满足则(　　)A．B．C．D．【答案】答案：A解析：由题意得，故选A．27．(2014高考数学福建理科·第1题)复数的共轭复数等于(　　)A．B．C．D．【答案】解析：，．故选：C．28．(2014高考数学大纲理科·第1题)设，则z的共轭复数为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为，所以的共轭复数为，故选D．29．(2014高考数学安徽理科·第1题)设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若,则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：因为，故选C．30．(2015高考数学四川理科·第2题)设是虚数单位，则复数=(　　)(A)(B)(C)(D)【答案】C解析：，选C．31．(2015高考数学山东理科·第2题)若复数满足，其中为虚数为单位，则(　　) A．B．C．D．【答案】A解析：因为，所以，，所以，故选：A．32．(2015高考数学湖南理科·第1题)已知(为虚数单位)，则复数=(　　)A．B．C．D．【答案】D．分析：由题意得，，故选D．33．(2015高考数学北京理科·第1题)复数(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：根据复数乘法运算计算得：，故选A．34．(2017年高考数学山东理科·第2题)已知,是虚数单位,若,则(　　)A．或B．或C．D．【答案】A【解析】由得,所以,故选A．35．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题)(　　)B．C．D．【答案】D【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力．【解析】解法一：常规解法解法二：对十法可以拆成两组分式数，运算的结果应为形式，(分子十字相乘，分母为底层数字平方和)，(分子对位之积差，分母为底层数字平方和)．解法三：分离常数法解法四：参数法，解得故 36．(2016高考数学山东理科·第1题)若复数z满足其中为虚数单位，则(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，故，则，选B．37．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第2题)若,则(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.二、填空题1．(2023年天津卷·第10题)已知是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】解析：由题意可得．故答案为：．2．(2021高考天津·第10题)是虚数单位，复数_____________．【答案】解析：．故答案为：．3．(2018年高考数学天津(理)·第9题)是虚数单位，复数．【答案】解析：．4．(2014高考数学四川理科·第11题)复数【答案】解析：5．(2014高考数学上海理科·第2题)若复数，其中是虚数单位，则．【答案】6解析:． 6．(2014高考数学江苏·第2题)已知复数(为虚数单位)，则的实部为．【答案】21解析：，其实部为21．7．(2014高考数学北京理科·第9题)复数=．【答案】50解析：8．(2015高考数学重庆理科·第11题)设复数的模为，则________．【答案】3解析：由得，即，所以．9．(2015高考数学天津理科·第9题)是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．【答案】解析：是纯虚数，所以，即．10．(2015高考数学上海理科·第2题)若复数满足，其中为虚数单位，则．【答案】解析：设，根据题意，有，可把化简成，对于系数相等可得出，．11．(2015高考数学江苏文理·第3题)设复数满足(是虚数单位)，则的模为_______．【答案】解析：12．(2017年高考数学浙江文理科·第12题)已知,(是虚数单位),则______,_____．【答案】【解析】由及已知,所以,解得或,所以,．13．(2017年高考数学天津理科·第9题)已知,为虚数单位,若为实数,则的值为____________．【答案】．【解析】为实数,则． 14．(2017年高考数学上海(文理科)·第9题)已知复数满足,则________．【答案】【解析】．15．(2016高考数学江苏文理科·第2题)复数，其中为虚数单位，则的实部是．【答案】5．解析：由复数乘法可得，则则的实部是5．题型四：复数的其他问题1．(2023年全国甲卷理科·第2题)设，则(　　)A．-1B．0·C．1D．2【答案】C解析：因为，所以，解得：．故选：C．2.(2015年上海卷·第16题)已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针转至，则的纵坐标为（）A．B．C．D．答案：D解析：以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，则，且，，的纵坐标为：．3．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第2题)已知，且，其中a，b为实数，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析： 由,得,即4．(2015高考数学上海理科·第15题)设，则“中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的(　　)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B解析：充分性不成立，如，，不是虚数；必要性成立，采用反证法，若全不是虚数，即均为实数，则比为实数，所以是虚数，则中至少有一个数是虚数．选择B．5．(2017年高考数学北京理科·第2题)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】,因为对应的点在第二象限,所以,解得,故选B．