2014-2023高考数学真题分项汇编专题10 平面向量（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算1题型二：平面向量的基本定理3题型三：平面向量的坐标运算9题型四：平面向量中的平行与垂直13题型五：平面向量的数量积与夹角问题14题型六：平面向量的模长问题33题型七：平面向量的综合应用38题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B解析:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在中，D是AB边上的中点，则=(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：3．(2022新高考全国I卷·第3题)在中，点D在边AB上，．记，则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：因点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B． 4．(2019·上海·第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是(　　)A.B．C．D．【答案】D【解析】依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为，选D.【点评】本题主要考查直线的方向量．5．(2019·全国Ⅰ·理·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是(　　)A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm【答案】答案：B解析：如图，，，则，，，所以身高，又，所以，身高，故，故选B．二、填空题1．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．【答案】(1)．(2)．【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，， 则点，，，因此，，．故答案为：；．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量、满足||=1,=(2,1),且(),则=．【答案】解析：∵，∴，3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】解析：因为向量与平行，所以，则所以．题型二：平面向量的基本定理一、选择题1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在中,为边上的中线，为的中点，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量表示出来的是(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：根据，选项A：，则，，无解，故选项A不能；选项B：，则，，解得，，，故选项B能．选项C：，则，，无解，故选项C不能．选项D：，则，，无解，故选项D不能．故选：B． 3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D为ABC所在平面内一点，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：由题知=，故选A．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 所以，所以其中，所以的最大值为，故选A．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线的距离为所以，所以的最大值为，故选A．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若 ，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．法四：由题意，画出右图． 设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，．∵∴，．两式相加得：(其中，)当且仅当，时，取得最大值3．二、填空题 1．(2023年天津卷·第14题)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．【答案】①．②．解析：空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即．于是．记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值．故答案：；． 2．(2015高考数学北京理科·第13题)在中，点，满足，．若，则；．【答案】解析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，．3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°．若,则______．ACBO(第12题)【答案】3解析:由可得,,根据向量的分解,易得,即,即,即得,所以．题型三：平面向量的坐标运算一、选择题 1．(2023年北京卷·第3题)已知向量满足，则(　　)A．B．C．0D．1【答案】B解析：向量满足，所以．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量，若，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量，且,则实数(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：4．(2014高考数学安徽理科·第10题)在平面直角坐标系中，已知向量，，，，点满足．曲线，区域，若为两段分离的曲线，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：因为，且，设，，则由得曲线C:设，则，，则 ，表示以为圆心，为半径的圆；区域：设，则由，则有：，表示以为圆心，分别以和为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得是两段分离的曲线，则由图像可知：，故选A．5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量,,则(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意,得,所以,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量，且，则(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得：，所以，又所以，所以，故选D．二、填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量，若，则__________．【答案】解析：因为，所以由可得，，解得． 故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．(2020江苏高考·第13题)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．【答案】【解析】三点共线，可设，，，即，若且，则三点共线，，即，，，,,，，设，，则，．根据余弦定理可得，，，，解得，的长度为．当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或．3．设向量与的夹角为，，，则　　　　　．【答案】解：设向量与的夹角为且∴，则。 4．(2015高考数学江苏文理·第6题)已知向量，,若(),则的值为_______．【答案】解析：由题意得：5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)设向量，，且，则．【答案】【解析】由已知得：∴，解得．题型四：平面向量中的平行与垂直一、选择题1．(2018年高考数学北京（理）·第6题)设，均为单位向量，则“”是“的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C解析：等号两边分别平方得：，因为，所以，与等价，故选C．2．(2016高考数学山东理科·第8题)已知非零向量满足，．若，则实数的值为(　　)A．4B．C．D．–【答案】B【解析】由，可设，又，所以所以，故选B．二、填空题1．(2014高考数学湖北理科·第11题)设向量，，若，则实数．【答案】解析：由题意得(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝0，则a2＝λ2b2．∴．∴λ＝±3．2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量，，，若，则． 【答案】解析：依题意可得，又，所以，解得．3．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量．若，则________．【答案】．解析：,，解得,故答案为：．题型五：平面向量的数量积与夹角问题一、选择题1．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a，b满足，，，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：，，，．，因此，．故选：D．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．2．(2022年高考全国乙卷数学（理）·第3题)已知向量满足，则(　　)A．B．C．1D．2 【答案】C解析：∵，又∵∴9，∴故选：C．3．(2019·全国Ⅱ·理·第3题)已知，，，则(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，则．4．(2018年高考数学天津（理）·第8题)如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为(　　)A．B．C．D．3【答案】A【基本解法1】连接，则易证明，所以所以，设， 则，当时，取得最小值，最小值为．【基本解法1】连接，则易证明，所以，所以，以为坐标原点，所在方向为轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，过作轴于点则，所以，设，则，，当时，取得最小值，最小值为．5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第4题)已知向量，满足，，则(　　)A．4B．3C．2D．0【答案】B解析：，故选B．6．(2014高考数学天津理科·第8题)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,．若,,则(　　) A．B．C．D．【答案】C解析:记,,则,所以．故选C．7．(2014高考数学上海理科·第16题)如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为(　　)．A．1B．2C．4D．8【答案】A解析:在上的投影为，所以,值只有一个．8．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=(　　)A．1B．2C．3D．5【答案】A解析：因为两式相加得：所以，故选A．9．(2015高考数学四川理科·第7题)设四边形为平行四边形，，．若点满足，，则(　　)A．20B．15C．9D．6【答案】C解析：，所以，选C．10．(2015高考数学陕西理科·第7题)对任意向量，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B． 11．(2015高考数学山东理科·第4题)已知菱形的边长为，,则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为故选D．12．(2015高考数学福建理科·第9题)已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于(　　)A．13B．15C．19D．21【答案】A解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．13．(2015高考数学安徽理科·第8题)是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：如图， 由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D．14．(2017年高考数学浙江文理科·第10题)如图,已知平面四边形,,,,与交于点．记,,,则(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】法一:动态研究问题:,．此时有,,,且,．故．故选C．【解析】法二:如图,取边中点,则,在线段上,再取,中点,则．所以,,所以．作交于,所以,而,所以,,所以,又,．所以,所以．故选C． 法三:余弦定理得,,所以,所以,所以．又由余弦定理得,所以,所以．故．而,,,所以．故选C．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(　　)A．B．C．D．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴∴，∴∴最小值为解法二：均值法∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵，∴ ∴，∴最小值为解法三：配凑法∵∴16．(2016高考数学天津理科·第7题)已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：∴，选B．17．(2019·全国Ⅰ·理·第7题)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：，所以，所以． 18．(2023年全国甲卷理科·第4题)已知向量满足，且，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为,所以,即,即,所以．如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,．故选:D．19．(2014高考数学四川理科·第7题)平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则(　　)A．-2B．-1C．1D．2【答案】D解析：因为，，所以，又 所以即解析2：由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故20．(2023年全国乙卷理科·第12题)已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时，设，则：，则当时，有最大值． 当点位于直线同侧时，设，则：，则当时，有最大值．综上可得，的最大值为．故选：A．二、填空题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第13题)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．【答案】解析：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2．(2020年浙江省高考数学试卷·第17题)设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【答案】解析：，，，．3．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第13题)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．30．(2021高考北京·第13题)已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；________． 【答案】①．0②．3解析：以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，．故答案为：0；3．5．(2019·天津·理·第14题)在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则．【答案】答案：解析：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，则，因为，所以，又，可得，又，所以，所以，． 6．(2018年高考数学上海·第8题)在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为．【答案】解析：设，则，，最小值为．解法2：．取中点，则．显然(当关于原点对称)．所以．则．7．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,∴,∴与的夹角为．8．(2014高考数学江苏·第12题)如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是． ABDCP【答案】22解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算．，．则．因为，则，故．解法二：(坐标法)不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则，．由，得，由，得，则，所求．9．(2015高考数学天津理科·第14题)在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为．【答案】解析：因为，，，，当且仅当即时的最小值为．10．(2015高考数学上海理科·第14题)在锐角中，，为边上的一点，与 面积分别为2和4，过作于，于，则．【答案】解析：由题可知，，，，，所以，，，化简可得．11．(2015高考数学湖北理科·第11题)已知向量，，则．【答案】9解析：因为，，所以．12．(2017年高考数学天津理科·第13题)在中,,,．若,,且,则的值为___________．【答案】【解析】以点为坐标原点,以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示)．依题意易得,则可得,,于是有,解得．13．(2017年高考数学江苏文理科·第13题)在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是______．【答案】解析:设,由得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上上,由限制条件,可得点P横坐标的取值范围为．14．(2016高考数学浙江理科·第15题)已知向量，．若对任意单位向量，均有，则的最大值是．【答案】 解析：由于对任意单位向量恒成立，所以，，所以，即，故的最大值是．15．(2016高考数学上海理科·第12题)在平面直角坐标系中，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是．【答案】解析：由题意设，，则，又所以．所以的范围为．16．(2016高考数学江苏文理科·第13题)如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是．【答案】．解析：令，，则，，则，，，，，则，，，由，可得，，因此，因此．17．(2019·上海·第3题)已知向量，，则与的夹角为________.【答案】【解析】.故 18．(2019·全国Ⅲ·理·第13题)已知，为单位向量，且，若，则___________．【答案】．【解析】因为，，所以，，所以，所以．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．19．(2014高考数学江西理科·第15题)已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则=_______【答案】分析:因为所以20．(2021年高考浙江卷·第17题)已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________．【答案】解析:由题意，设，则，即，又向量在方向上投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为．故答案为． 21．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题)已知向量，，，_______．【答案】解析:由已知可得，因此，．故答案为：．题型六：平面向量的模长问题一、选择题23．(2014高考数学大纲理科·第4题)若向量满足：则(　　)A．2B．C．1D．【答案】B解析：因为，所以，即，所以，又因为，所以，故选B．2．(2015高考数学湖南理科·第8题)已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为(　　)A．6B．7C．8D．9【答案】B．分析：由题意得，为圆的直径，故可设，，，∴，∴的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，从而易得当时的最大值为，故选B．3．(2018年高考数学浙江卷·第9题)已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(　　)A．B．C．2D．【答案】A解析：解法1：(配方法)由得，即，因此 ．如图，，，，则向量的终点在以为圆心，1为半径的圆上，而的终点在射线上，，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为．解法2：(向量的直径圆式)由，得，所以，如图，，则，即终点在以为直径的圆上，以下同解法1．解法3：(绝对值性质的应用)由，得，即，因此，而由图形得，所以，所以的最小值为．解法4：(坐标法)设起点均为原点，设，，则的终点在射线上，由，得，即，所以向量的终点在圆上，的最小值即为求圆上一点到射线上一点的最小距离，即为．二、填空题 1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题)已知向量，满足，，则______．【答案】解析：法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以．法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即．故答案为：．2．(2019·浙江·第17题)已知正方形的边长为当每个取遍时，，的最小值是，最大值是．【答案】0，【解析】正方形的边长为1，可得，，．所以，由于，2，3，4，5，取遍，取，，，时得，，此时所求最小值为0；由中，中的一个最大值为4，另一个为2，可取，，，，，此时所求最大值为． 3．(2014高考数学湖南理科·第16题)在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则的最大值是________．【答案】解析:动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则设为,则4．(2017年高考数学浙江文理科·第15题)已知向量,满足,则的最小值是_____,最大值是____．【答案】,【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:是以为邻边的平行四边形的两条对角线,故．如图,是以为邻边的平行四边形的两条对角线,是以为圆心的单位圆上一动点,构造2个全等的平行四边形．所以．易知当三点共线时,最小,此时;当时,最大,此时．(坐标法)设,,则,,所以,则,所以．(不等式法)最小值:．(当且仅当方向相反,即时,取“=”) ．最大值:．(当且仅当,即时,取“=”)．(转化为二元最值问题)令原题转化为,且,求的最值．方法1(数形结合):直线与圆弧有交点,如图可得．方法2(判别式法):化简得得,所以．当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值．5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．6．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第14题)设为单位向量，且，则______________．【答案】【解析】因为为单位向量，所以 所以解得：所以故答案为：题型七：平面向量的综合应用一、多选题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第10题)已知为坐标原点，点，，，，则(　　)A．B．C．D．【答案】AC解析:A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，错误；故选AC．二、选择题1．(2014高考数学浙江理科·第8题)记，，设为平面向量，则(　　) A．B．C．D．【答案】D解析：对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边=4，而不等式右边2，显然不成立．由排除法可知，D选项正确．故选：D．三、填空题1．(2019·江苏·第12题)如图，在中，是的中点，在边上，，与交于，若，则的值是______.【答案】【解析】法1：，设，则，因为三点共线，，所以，所以，所以，故，所以.法2：不妨设，以为原点，，为轴正方向建系，设，，，则，则，所以点，，所以，所以.法3：极化恒等式+中线定理： 同解法一知：，同理可得：，取中点，所以，，，因为，所以.由中线定理得，，所以，所以.2．(2014高考数学安徽理科·第15题)已知两个不相等的非零向量，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号)．①有5个不同的值②若，则与无关③若，则与无关④若，则⑤若，，则与的夹角为【答案】②④解析：记,，若与中有两个向量对应，则；若与中有且只有一个向量对应，则，若与中没有向量对应，则．；；又因为，所以．所以①说法有三个不同的值，说法错误；对于②，，当时，，故②正确；又当，与有关，故③说法错误；当时，，故④正确；当时，，所以，所以，所以，故⑤说法错误，综上易知正确的是②④．3．(2015高考数学浙江理科·第15题)已知是空间单位向量，，若空间向量满足 ，且对于任意，，则，，．【答案】，，．解析：问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即在，时，取到最小值1，，∴．