2014-2023高考数学真题分项汇编专题09 三角函数填空题（理科）（解析版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角填空题目录题型一：三角函数的概念1题型二：三角恒等变换2题型三：三角函数的图像与性质7题型四：正余弦定理13题型五：三角函数的综合应用20题型一：三角函数的概念1．(2020年浙江省高考数学试卷·第14题)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．【答案】1解析：设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得．2．(2021高考北京·第14题)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．【答案】(满足即可)解析：与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为．故答案为：(满足即可)．3．(2023年北京卷·第13题)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】①．②．解析：因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则．不妨取，即满足题意．故答案为：．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知，则________；______．【答案】(1)．(2)．解析：，，5．(2014高考数学陕西理科·第13题)设，向量，若∥，则_______．【答案】解析:，,因为，所以，，即．题型二：三角恒等变换1．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若，则__________，25学科网（北京）股份有限公司 _________．【答案】①．②．解析:，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则．故答案为：；．2．(2020江苏高考·第8题)已知，则的值是____．【答案】【解析】,故答案为：3．(2019·江苏·第13题)已知，则的值是.【答案】【解析】法1：，解得，或.所以＝＝＝.25学科网（北京）股份有限公司 法2：令，则，即，解得，所以.4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第15题)已知，，则__________．【答案】解析：因为，所以，，相加得，所以．5．(2014高考数学江苏·第5题)已知函数与()，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．【答案】解析：由题意，即，所以或，即或．又，所以．6．(2015高考数学四川理科·第12题)的值是________【答案】．解析：法一、．法二、．法三、．7．(2015高考数学江苏文理·第8题)已知，，则的值为_______．【答案】3解析：8．(2017年高考数学江苏文理科·第5题)若则______．【答案】25学科网（北京）股份有限公司 解析:,故答案为．9．(2017年高考数学北京理科·第12题)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则___________．【答案】【解析】因为和关于轴对称,所以,那么,,这样．【10．(2016高考数学浙江理科·第10题)已知，则，．【答案】【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的基本性质等知识，意在考查学生的运算求解能力．解析：由于，所以，．11．(2016高考数学四川理科·第11题)_________．【答案】【解析】．12．(2016高考数学上海理科·第7题)方程在区间上的解为___________．【答案】，解析：，即，所以，解得或(舍去)，所以在区间上的解为．13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)的内角的对边分别为，若，，，则．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】由平方关系可得：所以再由正弦定理得：．14．(2016高考数学江苏文理科·第14题)在锐角三角形中，，则的最小值是．【答案】8．解析：法1：由，，可得(*)，由三角形为锐角三角形，则，在(*)式两侧同时除以可得，又，则，由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得，，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，，解得(或互换)，此时均为锐角．法2：同法1得到故因为三角形为锐角三角形，所以25学科网（北京）股份有限公司 ，所以有，当且仅当取到等号时为直角三角形，故其中令则当且仅当时取到等号故法3：同法2得到易知所以，．15．(2017年高考数学上海(文理科)·第15题)设、,且,则的最小值等于．【答案】1【解析】，，∴，即，∴，，．题型三：三角函数的图像与性质1．(2021年高考全国甲卷理科·第16题)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】2解析：由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以．因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2．方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2．【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解．2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第16题)关于函数f(x)=有如下四个命题：25学科网（北京）股份有限公司 ①f(x)的图像关于y轴对称．②f(x)的图像关于原点对称．③f(x)的图像关于直线x=对称．④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③解析：对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误．故答案为：②③．【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．3．(2020江苏高考·第10题)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是____．【答案】【解析】,,25学科网（北京）股份有限公司 当时,故答案为：4．(2020北京高考·第14题)若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】(均可)【解析】因为，所以，解得，故可取．故答案为：(均可)．5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第15题)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．【答案】3解析：因为，(，)所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：6．(2019·北京·理·第9题)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．【答案】．【解析】函数，周期为．7．(2018年高考数学江苏卷·第7题)已知函数的图象关于直线对称，则的值是．【答案】解析：由题意可得，所以，，因为，所以．25学科网（北京）股份有限公司 8．(2018年高考数学北京(理)·第11题)设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．【答案】解析：∵对任意的实数都成立，∴为的最大值，∴，解得，又∵，∴的最小值为．9．(2014高考数学上海理科·第12题)设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则．【答案】解析:三角方程在一个周期内的解至多有两个，所以原方程在闭区间恰有三个解可知，，即，解三角方程，可得．10．(2014高考数学上海理科·第1题)函数的最小正周期是_____________．【答案】解析:,则．11．(2014高考数学课标2理科·第14题)函数的最大值为_________．【答案】1解析：所以最大值为112．(2014高考数学北京理科·第14题)设函数(是常数，)．若在区间上具有单调性，且,则的最小正周期为．【答案】解析：结合图像得，即T＝π．25学科网（北京）股份有限公司 13．(2014高考数学安徽理科·第11题)若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是．【答案】解析：由题意可得平移后所得函数的解析式为，，所以．故的最小正值为．14．(2015高考数学浙江理科·第11题)函数的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】，，．解析：，故最小正周期为，单调递减区间为，．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题)函数()的最大值是．【答案】1【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：换元法∵，∴设，，∴函数对称轴为，∴16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第15题)函数在25学科网（北京）股份有限公司 的零点个数为．【答案】解析：由，，解得，由即由，可得，故函数在的零点个数为．17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.【答案】【解析】因为，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.18．(2016高考数学江苏文理科·第9题)定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是．【答案】7．解析：画出函数在上图象草图，可以发现共7个交点．题型四：正余弦定理1．(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】25学科网（北京）股份有限公司 解析：由题意，，所以，所以，解得(负值舍去)．故答案为：．2．(2021年高考浙江卷·第14题)在中，，M是中点，，则___________，___________．【答案】(1)．(2)．解析:由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案为；．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．4．(2019·浙江·第14题)在中，，，，点在线段上．若，则，．【答案】，【解析】由题可得，，由正弦定理得，解得，所以．25学科网（北京）股份有限公司 5．(2019·全国Ⅱ·理·第15题)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为　　．【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以，【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．6．(2018年高考数学浙江卷·第13题)在中，角所对的边分别为，若，则，．【答案】，3解析：，，代入，整理得，解得．7．(2014高考数学天津理科·第12题)在中,内角所对的边分别是．已知,,则的值为_________．【答案】解析:由已知得,因为．不妨设,所以,所以．8．(2014高考数学四川理科·第13题)如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度约等于m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：)25学科网（北京）股份有限公司 【答案】解析：，9．(2014高考数学山东理科·第12题)在中，已知，当时，的面积为．【答案】解析：由得，所以．10．(2014高考数学课标1理科·第16题)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．【答案】解析:由且,即,由及正弦定理得:∴,故,∴,∴,∴,11．(2014高考数学广东理科·第12题)在中，角所对应的边分别为，已知，则【答案】．解析：法一：角化边．，化简即可．法二：边化角，角化边．12．(2014高考数学江苏·第14题)若△的内角满足，则的最小值是．【答案】解析：由正弦定理得，由余弦定理结合基本不等式有：25学科网（北京）股份有限公司 ，当且仅当时等号成立．13．(2014高考数学福建理科·第12题)在中，则的面积等于__________．【答案】．解析：∵中，，，，由正弦定理得：，∴，解得，，，∴．故答案为：．14．(2015高考数学重庆理科·第13题)在中，，，的角平分线,则_______．【答案】解析：由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，．15．(2015高考数学新课标1理科·第16题)在平面四边形中，，B，则的取值范围是．【答案】(，)解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为(，)．16．(2015高考数学天津理科·第13题)在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为．【答案】25学科网（北京）股份有限公司 解析：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以．17．(2015高考数学广东理科·第11题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c．若，，，则．【答案】1解析：因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即，解得：，故应填入1．18．(2015高考数学福建理科·第12题)若锐角的面积为，且，则等于________．【答案】解析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．19．(2015高考数学北京理科·第12题)在中，，，，则．【答案】1解析：20．(2017年高考数学浙江文理科·第14题)已知,,点为延长线上一点,,连结,则的面积是_______,_______．【答案】,【解析】取中点为,,,所以的面积为．又,,解得．25学科网（北京）股份有限公司 21．(2017年高考数学浙江文理科·第11题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积,_______．【答案】【解析】．22．(2016高考数学上海理科·第9题)已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】解析：由已知，利用余弦定理可求得所以，由正弦定理得，所以．题型五：三角函数的综合应用1．(2023年全国甲卷理科·第16题)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】解析：25学科网（北京）股份有限公司 如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．2．(2016高考数学上海理科·第13题)设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为．【答案】4解析：当时，，又，注意到，所以只有2组：，满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组，故共有4组．3．(2022年浙江省高考数学试题·第17题)设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】解析:以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是．故答案为：．2．(2014高考数学浙江理科·第17题)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是__________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)【答案】解析：过P作，交于P′，连接，则=，设，则由，得25学科网（北京）股份有限公司 在直角中，∴令，则函数在单调递减，∴时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，，在直角中，∴令，则可得时，函数取得最大值，故答案为：．5．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．【答案】解析：因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：．6．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．25学科网（北京）股份有限公司 【答案】解析：设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．7．(2015高考数学湖北理科·第13题)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m．【答案】解析：依题意，，，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m．8．(2015高考数学上海理科·第13题)已知函数若存在满足，且，则的最小值25学科网（北京）股份有限公司 为．【答案】解析：对任意的，，欲使取最小值，尽可能多的让取最值点，考虑到，，按照下图所示取值可以满足条件所以的最小值为8；25学科网（北京）股份有限公司