四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二文科数学下学期期中试题（Word版附解析）

叙州区第二中学2023年春期高二期中考试数学（文史类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现用分层抽样抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，结合样本容量为可求得该学校学生的总数.【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，所以，从该学校中抽取一个容量为的样本时，则该学校学生的总数为.故选：B.【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”.故选：A.3.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先对复数化简计算，然后再判断其在复平面内对应的点所在的位置【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B4.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意可得：每个实数都大于的概率为，则3个实数都大于的概率为.本题选择C选项.5.如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）A.0.196B.0.504C.0.686D.0.994 【答案】C【解析】【分析】由题意分析，列举出系统能正常工作的基本事件，应用概率的加法公式求概率即可.【详解】由题意知：系统能正常工作的基本事件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，∴A、B和C正常工作的概率为：；A、B正常工作而C不正常工作的概率为；A、C正常工作而B不正常工作的概率为；∴系统正常工作的概率.故选：C.6.已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所形成角的余弦值．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设异面直线与所形成角为， 则.∴异面直线与所形成角的余弦值为.故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．7.通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，结合对数运算求得.【详解】解析根据题意，所以，所以，所以，得.故选:C8.已知命题p：点在圆内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，//平面，则.下列命题正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析真假性后判断选项【详解】对于命题p，点在圆内，则，故圆心到直线距离，直线与圆相离，为真命题，对于命题q，与位置关系不确定，为假命题， 选项中只有为真命题．故选：B9.已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，，则（）A.eB.C.1D.2【答案】C【解析】【分析】设l与的切点为，与的切点为，利用斜率相等即可建立方程求出.【详解】设l与的切点为，与的切点为，公切线的斜率：，可得：，所以，．故选：C.【点睛】本题考查直线与曲线相切问题，利用直线的斜率等于在切点处的导数值可建立等量关系求解，属于中档题.10.已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设，，则的中点坐标为， 由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.11.已知F2，F1是双曲线的上，下两个焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】先求出点F2关于渐近线的对称点坐标，再代入以F1为圆心，|OF1|为半径的圆方程中，解得离心率.【详解】设点F2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F1为圆心，|OF1|为半径圆的方程为，把点M的坐标代入上式得， 又，所以，解得．故选：A12.已知定义在上的函数满足，当时，．则的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据题意可得的图像关于x=1对称，即得关于x=1对称，再由，可得在时的单调性，最后化简题中不等式为，根据单调性与对称性化简不等式得，解不等式可得结果.【详解】令因为函数满足，所以的图像关于x=1对称，关于x=1对称，又，所以当时，，即在上单调递减，根据对称性得，在上单调递增，因此化简可得，解得.故选：A【点睛】本题考查函数单调性，对称性的综合应用，难点在于构造函数，考查分析理解，计算化简的能力，属较难题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数的单调减区间为________________.【答案】【解析】【分析】求函数的定义域，然后解不等式，可求得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，，解不等式，即，解得.因此，函数的单调递减区间为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.14.设满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定函数的最优解，解求解目标函数的最大值，得到答案．【详解】由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为． 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15.已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，即得.【详解】当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径，表面积为．故答案为：.16.过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．【答案】6【解析】【详解】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得， ，，过的直线设为，与联立得：，，计算得出且，又，AB的中点为线段AB的垂直平分线过点方程为过中点，则，，解出或（舍去），则，，则三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．【答案】（1）抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为6人，岁以下长者人数为人；（2）％； （3）约为4.51亿元.【解析】【分析】（1）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．（2）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（3）用样本估计总体，计算抽样的600人的预算，进而能估计政府执行此计划的年度预算．【小问1详解】数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：，故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为人，岁以下长者人数为人；【小问2详解】在人中岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，岁及以上长者共有万，岁及以上长者占户籍人口的百分比为％=％；【小问3详解】先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为人，享受600元/年的人数为人，预算为：元用样本估计总体，全市老人的总预算为元，所以政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元. 18.已知函数在处取得极值，（1）求的值及的单调区间；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值.【答案】（1），函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.（2）【解析】【分析】（1）根据是函数的极值点，得到，解得，再根据导数得到函数的单调区间；（2）根据函数的单调性和极值点，得到，解得的值.【详解】解析：（1）函数所以，因为在处取得极值，可得，即，解得，所以令，解得或，令，解得所以函数的单调递增区间是，函数单调递减区间是.（2）由（1）知，为递增，递减， 所以的最大值取，中的较大者又由于所以，即整理得，解得.【点睛】本题考查根据极值点求参数的值，利用导数研究函数的单调性，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.19.在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据等边三角形的性质可知平面，作平面，那么，通过计算证明四边形是平行四边形，故，由此可得平面；（2）设点B到平面ADE的距离为,由，计算即可得解.【详解】（1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上，连接，则平面. 平面平面，平面平面，平面，平面,.和平面所成的角为，即，,又，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面（2）设点B到平面ADE的距离为由得：解得.20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为．【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得，，解方程即可得解；（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆联立得．设，，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过 定点（2，0）．试题解析：（1）由椭圆的离心率得，其中，∴，∴解得，，，∴椭圆的方程为．（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由消去，得．设，，则，即，，.且由已知，得,即．化简，得∴整理得．∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数.（1）求在点处切线方程；（2）若存在，满足成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求导得到，计算，根据切线方程公式得到答案.（2）变换得到，求导得到函数的单调性，计算函数的最大值得到答案.【详解】（1），所以，，所以在点处的切线方程为：，即；（2）由题意，，即，令，得.因为时，，时，，所以在上减，在上增，又时，所以的最大值在区间端点处取到.而，，，所以，所以在上最大值为，故的取值范围是.【点睛】本题考查了切线方程，能成立问题，将能成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与画线C交于两点，求的值. 【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换结合得出直线和曲线C的直角坐标方程；（2）由直线参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，由其几何意义以及韦达定理进行求解.【小问1详解】可化为，即即直线的直角坐标方程为可化为，，即曲线C直角坐标方程为【小问2详解】因为在直线上，所以直线的参数方程为（为参数）将其代入，整理得设对应的参数为，则（选修4-5：不等式选讲）23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.【详解】（1），由，解得，故不等式的解集是；（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，当时，，，即，因为，所以，令，，易知在上单调递增，所以的最小值为，因此，即的取值范围为.