四川省射洪中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中试题（Word版附解析）

射洪中学高2021级2023年上期半期考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.命题p：，，则是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不否定条件，所以D选项正确.故选：D2.设，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．【详解】或，则，，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．3.设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（）A.B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.【详解】由，得解得．因为是双曲线左支上的动点，所以.由双曲线的定义可知．故选：A.4.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C 【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.5.若，则等于（）A2B.0C.-2D.-4【答案】D【解析】【分析】先求导，算出，然后即可求出【详解】因为，所以所以，得所以，所以故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.6.若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义即可求解【详解】设，，因为曲线在点处的切线平行于直线，，所以点的坐标为，故选：C7.已知函数图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C8.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是　(　　)A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【答案】B【解析】【详解】f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2. 所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．9.已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，从而，∴.∵，∴.故选:B10已知直线与抛物线相交于、两点（其中位于第一象限），若，则（）A.B.C.-1D.【答案】A【解析】【分析】过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线定义及得，利用三角形知识求出倾斜角，进一步求出直线斜率即可【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过A作的垂线，垂足为M，如图，设，因为，所以，则，所以，即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.故选：A.11.已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得，令，求导求最值即可.【详解】若在上恒成立，则在上恒成立等价于在上恒成立，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故， 故.故选：B.12.已知椭圆:的左右焦点为，，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，，如图，若，为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接，由题知，，所以，再结合椭圆的定义得，进而在中结合勾股定理得，最后根据离心率的公式求解即可.【详解】如图,连接,因为，为线段的三等分点,所以在中,为中点，为中点，所以，又因为过的直线与圆相切于点，所以，因为圆的半径为，所以，由椭圆的定义得：， 所以，所以在中，，即，整理得：，即：，所以.故选：C【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于证明，，进而根据椭圆的定义得，再结合勾股定理得.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求解切线斜率，代入点斜式方程即可求解.【详解】因为，所以，则切线斜率，又，则切点为，所以切线方程为，化简得：.故答案为：.14.已知命题“∈[1，2]，”是真命题，则实数a的取值范围为______． 【答案】【解析】【分析】由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，即有2a＜x0在[1，2]的最大值，由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，则2a，可得a，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．故答案为（﹣∞，）．【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．15.已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【详解】由题意知f′(x)＝x＋2a−≥0在上恒成立，即2a≥−x＋在上恒成立，∵＝，∴2a≥，即a≥.16.已知函数，若，则的最小值为______.【答案】【解析】 【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可.【详解】设，即，解得，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于双变量的范围问题，往往转化为一个变量（解方程、主元法等），构造函数后利用导数研究函数的单调性，进一步求出函数的值域即可.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，其余每题12分.17.已知命题，命题有意义．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先分别求两个命题表示的的取值范围，再求交集，即可求解；（2）由题意可知，与都为假命题，即与都为真命题，求与表示集合的交集.【小问1详解】由题知，解得，即，要使有意义，只需，解得或，即或，若为真，则有，解得：， 实数取值范围是；【小问2详解】由（1）知或，若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，或，只需，解得或．则实数的取值范围：或．18.已知函数在点处切线斜率为，且．（1）求和；（2）试确定函数的单调区间．【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合，进行求解即可；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.【小问1详解】函数，求导，由，得解得：．【小问2详解】由（1）得，求导，令，得，当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；的单调递增区间为，单调递减区间为．19.已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；（3）求的周长．【答案】（1）（2）25（3）54【解析】【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．【小问1详解】因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，由题意得，解得，所以双曲线方程为.【小问2详解】依题意得直线AB的方程为，设，.联立，得，，且，所以.【小问3详解】由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且， 由双曲线定义，，从而，的周长为．20.直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.（1）求抛物线方程；（2）设抛物线与轴交于点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点到轴的距离求出的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知，将直线与抛物线的方程联立，根据求出的取值范围，根据线段中点的横坐标为求出的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：抛物线的焦点为，因为抛物线的焦点到轴的距离为，则，可得，所以，抛物线的方程为.【小问2详解】解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则， 设点、，联立，可得，，解得，因为线段中点的横坐标为，则，整理可得，又因为，解得，易知抛物线交轴于点，则有，可得，由韦达定理可得，，由弦长公式可得，原点到直线的距离为，所以，.21.已知函数（1）当时，求函数的极值（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围【答案】（1）极大值，无极小值（2）【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先分和两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值.【小问2详解】，，当时，恒成立，在单调递增，所以最多只有1个零点，不成立，当时，，，单调递增，当时，，单调递减，若函数在上有且仅有2个零点，则，解得：，且，解得：，且，解得：，综上可知，，所以实数的取值范围是.22.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B． （1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．【答案】（1）（2）证明见解析（3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.【小问1详解】由题意知，，所以，又椭圆经过T（2,1），所以，解得，，所以椭圆方程为；【小问2详解】联立直线与椭圆方程，得， 所以，∴，则，解得，设，则，，所以，即；【小问3详解】椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：设切线方程为，即，由，得，所以，，解得，则，又，所以，所以，设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D， 因为，所以，又，，，所以.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．