安徽省北京师范大学蚌埠附属学校2022-2023学年高二数学上学期期中复习试题（Word版附解析）

2022-2023学年安徽省北京师范大学蚌埠附属学校高二数学期中复习试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果.【详解】几何体为平行六面体，各个面均为平行四边形，为，中点，.故选：A.2.已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出作答. 【详解】由点在双曲线上，得，则，即，整理得，解得或，当时，，此时方程无解，当时，，而，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：B3.已知实数、满足，的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设为圆上的任意一点，将转化为点P到直线的距离和点P到原点的距离比值的2倍，利用数形结合法求解.【详解】如图所示： 设为圆上的任意一点，则点P到直线的距离为，点P到原点的距离为，所以，设圆与直线相切，则，解得，所以的最小值为，最大值为，所以所以，故选：B【点睛】思路点睛：本题思路是先抽象出的几何意义，再通过数形结合，转化为过原点的圆的切线与直线的夹角的正弦，利用三角函数求解.4.对于圆上任意一点，的值与 ，无关，则当时，的最大值是（）A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得到表示点到直线和直线的距离和的倍，从而可得出当时，的最大值是两平行线间距离的一半.【详解】因为，所以表示点到直线和直线的距离和的倍.所以要使的值与，无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，又因为，所以两平行线和之间的距离为，所以的最大值是.故选：C.5.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标，再结合离心率求出方程作答.【详解】抛物线的准线方程为，则双曲线的焦点坐标为，而双曲线的离心率为，令其实半轴长为，则，即有，虚半轴长， 所以双曲线的标准方程为.故选：B6.平行六面体中，若，则（）AB.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.7.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为A.3B.C.D.1【答案】C【解析】 【详解】根据题意得：,由，得，所以.又因为.所以.故选C.8.抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.【详解】设直线与抛物线相切的切点为，与抛物线相切的切点为，由求导得：，由求导得：，则抛物线在点处切线为，即，抛物线在点处切线为，即，依题意，，解得，因此两条公切线方程分别为，，由，解得，所以两条公切线的交点坐标为.故选：C 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0．下列说法正确的是（）A.直线l恒与圆有两个公共点B.圆C被y轴截得的弦长为C.直线l恒过定点（2，1）D.直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0【答案】ABD【解析】【分析】AC易得直线过定点判断；B.令求解判断；D.由圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小求解判断.【详解】直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0可化为，由，解得，所以直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线l恒与圆有两个公共点，故A正确，C错误；令，得，则，所以圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；由，当圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小，此时直线l的斜率是，则直线方程为，即，故D正确；故选：ABD10.在正方体中，点是底面的中心，则（）A.平面B.与成角为30ºC.D.平面【答案】ABC【解析】 【分析】A.由，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理判断；B.根据，得到为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到平面判断；D.由判断；【详解】如图所示：A.因为，平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；B.因为，所以为所成的角，又平面，则，设棱长为a，则，因为，则，故正确；C.因为，所以平面，则，故正确；D.因为，，所以不垂直，则与平面不垂直，故错误；故选：ABC11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两个不同的点，，作，垂足为（）A.若，则B.以PQ为直径的圆与准线l相交C.设，则 D.过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线共有2条【答案】AC【解析】【分析】对于A：由抛物线的定义，直接求得.即可判断；对于B：利用几何法判断出以PQ为直径的圆与准线l相切.故B错误；对于C：利用几何法即可求得.即可判断；对于D：直接求出过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条.【详解】抛物线的焦点为.因为过点F的直线与抛物线交于两个不同的点，，对于A：由抛物线的定义，所以当时，.故A正确；对于B：取PQ的中点E，过E作EF⊥l于F.过作于，由抛物线的定义可得：.而EF为梯形中位线，所以，所以以PQ为直径的圆与准线l相切.故B错误；对于C：对于抛物线，当x=3时，.所以.故C正确；对于D：在过点的直线中，当斜率不存在时，直线为x=0与抛物线相切，只有一个交点；当斜率为k时，可设为，与抛物线联立，消去y可得：.当斜率k为0时，解得，此时直线为y=1与抛物线只有一个交点；当，只需，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点.故D错误.故选：AC 【点睛】解析几何问题常见处理方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算．12.如图：空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列选项正确的是（）A.设点在面内，若的斜率与的斜率之积为，则点的轨迹为双曲线B.三棱锥的外接球表面积是C.设点在平面内，若点到直线的距离与点到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线D.设点在面内，且，若向量与轴正方向同向，且，则最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由得，化简可得轨迹方程可判断；由对称性知球心坐标可设为，求解得的值，进而可求半径，可判断，由已知可得点到的距离与到直线的距离相等，可判断，可求的轨迹方程为，设到的距离为到的距离为，表示出进而计算可得最小值可判断.【详解】解：对于：设点在面内坐标为，所以， 所以，所以，所以，所以，所以点的轨迹是双曲线去掉两个顶点，故A错误；对于，因为关于平面对称，所以球心在平面内，又，所以球心在与轴上的坐标互为相反数，设球心坐标为所以，解得，所以，所以表面积为，故B正确；对于在平面内，若点到直线的距离即为到的距离，又点到直线的距离与点到直线的距离相等，所以点到的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线；对于：点在面内，且，又，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，所以椭圆方程为，设到的距离为到的距离为，，要使的值最小，则最小，又，所以，即，所以，故D正确；故选：.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若双曲线：的焦点坐标为，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定的范围，再列式计算作答.【详解】依题意，，则，双曲线，而的焦点为，于是，解得， 所以实数的值为.故答案为：14.已知椭圆的一个焦点为，长轴长为，中心在坐标原点，则此椭圆的离心率为_______．【答案】##0.6【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆离心率的定义计算作答.【详解】依题意，椭圆的半焦距，长半轴长，所以该椭圆的离心率.故答案为：15.直线：与圆相交、两点，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】由解得或，不妨令，所以.故答案为：16.直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣y﹣5=0上总存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】依题意,点P在以C为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB恒成立,则点P在以AB为直径的圆内部,所以AB的最小值为圆的直径的最小值. 【详解】因为P为MN的中点,所以CP⊥MN,又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三角形,所以CP=1,即点P在以C为圆心,以1为半径的圆上,点P所在圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,要使得∠APB恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,而AB在直线l：x﹣y﹣5=0上,C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离d.所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=31,所以AB的最小值为2r=62.故答案为：62.【点睛】本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计 算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．试题解析：（1），，即．又，．∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，设直线方程为，，联立方程消去y得，因为直线与椭圆交于两点，所以恒成立，，又，因为点P在椭圆上，所以，即，又，即，整理得：，化简得：，解得或（舍）， ，即．当直线MN的斜率不存在时，，此时，．考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．18.设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．（1）求抛物线的方程；（2）设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.（2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答.【小问1详解】抛物线：的准线方程为，依题意，，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）知，，则直线的方程为，由消去y得：，解得，，所以的面积. 19.已知圆C：，若直线与圆C相切.求：（1）实数b的值；（2）过的直线l与圆C交于P、Q两点，如果.求直线l的方程.【答案】（1）9；（2）【解析】【分析】（1）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可得b的值；（2）由于，所以直线过圆心，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】解：（1）圆C：的圆心为，半径为2因为直线与圆C相切，所以，解得（2）因为圆的半径为2，弦，所以直线l过圆心，所以l的斜率为，所以直线l的方程为，即【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.20.如图，四边形是平行四边形，，，，，为的中点． （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）取中点，连接，由三角形中位线定理和已知条件可得四边形为平行四边形，所以，由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可证得结论；（2）在中，由余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，，由线面垂直的判定定理可证得结论；（3）点与点到平面的距离相等，令该距离为，则有，即，在中利用余弦定理求出，则可求出，从而可求得结果【详解】证明：（1）取中点，连接，因为分别为的中点，所以∥，又中点，∥，，而∥，，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以因为，平面，而平面 所以平面平面因为平面所以平面；（2）在中，，，所以故在中，从而因为，平面，平面所以平面（3）解：连接交于点，则为的中点，所以点与点到平面的距离相等，令该距离为，所以有，即由（2）知平面，，所以在中，所以，所以所以点到平面的距离 21.在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）设点到平面的距离为，根据，结合锥体的体积公式，即可求解；（3）以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，根据，求得，得到的长,再由（2）中点到平面的距离，结合直线与平面所成角，即可求解.【小问1详解】 证明：如图所示，连接，因为分别为的中点，所以，又因为，所以，因为平面,平面，所以平面.【小问2详解】解：设点到平面的距离为，在长方体中，可得平面，且平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，所以，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以为等腰三角形，可得边上的高为，所以，由，可得，即，解得，即点到平面的距离为.【小问3详解】解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得， 设，所以，因为，所以，解得，所以，可得，即,由（2）知，点到平面的距离，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.22.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程及直线的斜率；（2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．【答案】（1），；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点的坐标，利用点差法求解作答；（2）证明的重心坐标为，确定中点坐标，点差法求出的斜率，即可求解的方程．【小问1详解】 设椭圆的方程为，则，且，解得，所以椭圆的方程为；设，而，则，由，得，即，又由，得，则直线的斜率.【小问2详解】当时，由（1）知，点的坐标满足，而，因此的重心坐标为，所以原点是的重心；显然线段的中点坐标为，此点在椭圆内，即直线与椭圆必相交，由（1）知直线的斜率，所以直线的方程为，即.