安徽省蚌埠市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

蚌埠市2022—2023学年度第一学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由交集的定义求解即可．【详解】因为，，所以，故选：A．2.命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（）A.任意一个素数，它的平方是偶数B.任意一个素数，它的平方不是偶数C.存在一个素数，它的平方是素数D.存在一个素数，它的平方不是偶数【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求求解.【详解】“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一个素数，它的平方不是偶数”.故选：B3.为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试．已知该校高一学生360人，高二学生300人，高三学 生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（）A.60B.54C.51D.45【答案】B【解析】【分析】先求出抽样比，乘以总人数即可求出抽取高一学生的人数．【详解】，所以应抽取高一学生人数为54人，故选：B．4.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法判断即可.【详解】因为，则，所以，所以，又，所以，所以.故选：D5.若样本数据，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为（）A.10B.12C.34D.36【答案】B【解析】【分析】根据样本数据的标准差为，那么数据标准差为，即可得到答案．【详解】一般地，如果样本数据的标准差为，那么数据标准差为， 所以数据，，…，的标准差为，故选：B．6.函数在单调递增，求a的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域得到不等式组，求出a的取值范围.【详解】在上为增函数，故要想在单调递增，所以在上单调递增，且在恒成立，故且，解得：，故选：D7.已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将，，的零点转化为函数，，与交点横坐标，做出图像即可得出结论．【详解】令，，，得，，，则为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标，在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，由图可知，，故选：A．8.若均为正实数，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将变形为，结合可求得答案.【详解】因为均为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：C二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题中正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的既不充分也不必要条件C.“幂函数为反比例函数”的充要条件是“或”D.“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“” 【答案】BD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义一一判断即可.【详解】对于A：由可得，故充分性成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故A错误；对于B：若，，满足，则，故充分性不成立，若，，满足，则，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；对于C：若幂函数为反比例函数，则，解得，故C错误；对于D：若函数在区间上不单调，则，因为真包含于，所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确；故选：BD10.从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（）A.事件A和D是对立事件B.事件B和C是对立事件C.事件A和B是互斥事件D.事件C和D是互斥事件【答案】AD【解析】【分析】先用列举法得到样本空间总事件及事件包含的事件，从而利用对立事件和互斥事件所满足的关系进行判断，得到答案.【详解】将3名女生设为，两名男生设为，任选两人组成学习小组，以下是样本空间包含的基本事件：， 其中事件包含，事件包含，事件包含，事件包含，A选项，因为，且，所以事件A和D是对立事件，A正确；B选项，因为，所以事件B和C不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C选项，因为，所以事件A和B不是互斥事件，C错误；D选项，因为，所以事件C和D是互斥事件，D正确.故选：AD11.已知函数，则（）A.是奇函数B.在R上单调递增C.函数的值域是D.方程有两个实数根【答案】ACD【解析】【分析】对,对于任意，，故正确；对当时，为单调递减函数，又因为函数为奇函数，所以函数在R上单调递减，故错误；对,当时，．当时，，又因为函数为奇函数，函数的值域为，故正确；对,当时，是方程的解，当时，在有一个正根．故正确．【详解】对,对于任意，，故正确； 对对于函数，当时，，所以为单调递减函数，又因为函数为奇函数，所以函数在R上单调递减，故错误；对,当时，．当时，，∵，∴，又因为函数为奇函数，函数的值域为，故正确；对,当时，方程显然成立，所以是方程解，当时，方程，即在有一个正根．故正确．故选：ACD【点睛】本题主要以函数为载体，考查函数的单调性、值域、奇偶性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证.【详解】根据定义. 对于A：若则,,,,∴,故A正确;对于B：若,则,,,,∴,故B正确;对于C：若,则,,则.故C错;对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.故选：ABD.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：__________【答案】1【解析】【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．【详解】原式＝．故答案为：1．14.蚌埠市2022年人冬第一周出现了“小阳春”，气温跟往年比偏高，这一周（11月6日至11月12日）的日最高气温（单位：℃）分别为，，，，，，，则这周的日最高气温的分位数是___________℃.【答案】【解析】【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意将数据从小到大排列为，，，，，，，又，所以第分位数为第个数即.故答案为：15.2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20 和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为___________．【答案】##0.99【解析】【分析】由对立事件即可求解．【详解】由题意得，防空导弹单发命中率为0.9，设事件为发射一枚防空导弹后命中敌机，则，，设事件为采取双发齐射后命中敌机，则，故答案为：0.99．16.已知函数，则函数的不同零点的个数为______．【答案】【解析】【分析】设，由解出或，即可得到函数零点个数．【详解】设，由可得或，解得或，同理，由可解得或，由可解得或，所以函数的不同零点的个数为．故答案为：．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①，②这两个条件中选择一个，补充到下面的问题中，并求解该问题．已知集合，．（1）当时，求；（2）若___________，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）（2）选①：或；选②：【解析】【分析】（1）分别求出集合和集合，根据并集的定义直接求解；（2）选①：由直接列出不等式，求解即可；选②：由列出不等式组，求解即可．【小问1详解】由已知得，，则．【小问2详解】选条件①，由已知得，，因为，所以或，所以实数的取值范围是或．选条件②，由已知得，，，则且，所以实数的取值范围是．18.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【答案】(1)．(2)．【解析】【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y．用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A， 则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率P（A）＝＝．（2）设“取出两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}事件B由7个基本事件组成，故所求概率P（A）＝．考点：古典概型的概率计算19.已知函数，且.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若，求函数在区间上的最大值【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，关于原点对称，再由即可判断函数为奇函数；（2）由题意易判断出函数在区间上单调递增，由此即可求出其最大值.【小问1详解】函数为奇函数，证明如下：由题得，解得，故函数定义域为，关于原点对称；，所以函数为奇函数.【小问2详解】由，函数为增函数，所以：函数为增函数，函数为减函数（同增异减）， 所以函数为增函数，函数在区间上单调递增，最大值为.20.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.（1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.【答案】（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【小问1详解】由题意得，，所用篱笆总长为.因为，当且仅当时，即，时等号成立.所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.【小问2详解】由题意得，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.21.江西省作为全国第四批启动高考综合改革的7个省份之一，从2021 年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式。“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩：“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩：“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比例15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：（1）同一组数据以该组区间的中点值作代表，求实数a的值并估计本次考试的平均分；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90，试计算其等级分．【答案】（1），73（2）（3）91分【解析】【分析】（1）先利用频率分布直方图频率之和为1，求出的值，再利用频率分布直方图平均数的求法，将每一个组区间的中点值乘以对应的频率然后求和即可求出答案.（2）由等级所占的人数比例为，由频率分布直方图可知原始分成绩位于区间的占比为5% ，位于区间的占比为20%，等级的最低原始分在区间中，可设最低原始分并结合该区间所占比例为10%即可求出等级的最低原始分，再结合题意最高原始分可得出结果.（3）由化学成绩的原始分为90分，落在A等级中，根据题意得出原始分的最高和最低，A等级中赋分区间的最低分和最高分，代入公式即可求出等级分.【小问1详解】由频率分布直方图可知，频率之和为1，得，解得，估计本次考试的平均分为．【小问2详解】根据等级所占的人数比例为，由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，所以最低原始分在之间，设最低原始分为，则，解得，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．【小问3详解】由题意可知，化学成绩的原始分为90分，落在A等级中，则，，，，，代入公式后，解得，该学生的等级分为91分．22.已知函数.（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】分析：（1）问题等价于恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可； （2）由，令，分三种情况进行讨论求出的最小值，令其为，即可求出的值.（3）由题意对任意恒成立，当时容易判断，当时转化为函数的最值问题即可求解.详解：（1）（2），令，则，当时，无最小值，舍去；当时，最小值不是，舍去；当时，，最小值为，综上所述，.（3）由题意，对任意恒成立.当时，因且，故，即；当时，，满足条件；当时，且，故，；综上所述，.点睛：本题考查了复合函数额单调性、函数的恒成立问题、函数的最值等问题的综合应用，着重考查了转化思想方法和函数性质的综合应用，试题综合性强，难度较大，同时主要函数恒成立问题求解方法中，通常利用分类参数转化为函数的最值求解.