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安徽省蚌埠市2022-2023学年高二数学上学期期末试卷(Word版附解析)
安徽省蚌埠市2022-2023学年高二数学上学期期末试卷(Word版附解析)
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蚌埠市2022—2023学年度第一学期期末学业水平监测高二数学本试卷共150分,考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为,则实数()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线的斜率为,解方程即可得出答案.【详解】已知直线的倾斜角为,则直线的斜率为,则.故选:B.2.在等差数列中,,则的值是()A.36B.48C.72D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质求得,再由即可得结果.【详解】由题设,,则,所以.故选:A3.已知动直线恒过定点为圆上一动点,为坐标原点,则面积的最大值为()A.B.4C.6D.24【答案】C 【解析】【分析】首先求点的坐标,再利用数形结合,求圆上点到直线距离的最大值,即可求解面积的最大值.【详解】由,整理为,令,解得,所以直线恒过定点,圆的圆心,半径,如图,,直线的方程为,则圆心到直线的距离,则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离,所以面积的最大值为.故选:C4.若数列满足,且,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令可得,再令可得数列是首项和公比为的等比数列,再由等比数列的前项和求解即可.【详解】令,,令,则,所以, 所以数列是首项和公比为的等比数列,所以.故选:A.5.在三棱锥中,为的中点,则等于()A.-1B.0C.1D.3【答案】C【解析】【分析】由题意可得,再由数量积的运算律代入求解即可.【详解】因为,所以,,,因为,.故选:C.6.已知双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得,由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】离心率,则,所以渐近线方程为.故选:C7.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点,若为等腰三角形,则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据离心率求出关系,根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案.【详解】设椭圆的焦距为,因为离心率为,所以,;因为为等腰三角形,且在第一象限,所以,由椭圆的定义可得.设直线的倾斜角为,则,,;所以.故选:B. 8.如图,在长方体中,点分别是棱上动点,,直线与平面所成的角为,则的面积的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】以C为原点,以CD,CB,CC′为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则C(0,0,0),设P(0,a,0),Q(b,0,0),于是0<a≤4,0<b≤3.设平面PQC′的一个法向量为则令z=1,得a2b2≥2ab,解得ab≥8.∴当ab=8时,S△PQC=4,棱锥C′-PQC的体积最小,∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°,∴C到平面PQC′的距离d=2∵VC′-PQC=VC-PQC′, 故选B点睛:本题考查了线面角的计算,空间向量的应用,基本不等式,对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的的四个选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.在平面直角坐标系中,已知圆,则下列说法正确的是()A.若,则点在圆外B.圆与轴相切C.若圆截轴所得弦长为,则D.点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为【答案】AD【解析】【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项;求出圆心到轴的距离,可判断B选项;利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值,可判断C选项;对原点在圆上、圆外进行分类讨论,求出点到圆上一点的最大距离和最小距离,可判断D选项.【详解】圆的标准方程为,圆心为,半径为,对于A选项,若,则有,即点在圆外,A对;对于B选项,因为圆心到轴的距离为,而与的大小关系不确定,所以,圆与轴不一定相切,B错;对于C选项,若圆截轴所得弦长为,则,解得,C错;对于D选项,当时,点在圆上,点到圆上一点的最大距离为,点到圆上一点的最小距离为,则;当时,则点在圆外,且,所以,点到圆上一点的最大距离为,最小距离为,则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.综上所述,点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为,D对.故选:AD. 10.如图,在正方体中,分别为的中点,则以下结论正确的是()A.B.平面平面C.平面D.异面直线与所成角的余弦值是【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得出,可判断A;因为四点共面,所以平面平面可判断B;由线面平行的判定定理可判断C;由异面直线所成角可判断D.【详解】对于A,连接,易证,因为平面,而平面,所以,所以在中,与不垂直,所以不垂直,故A不正确;对于B,连接,因为分别为的中点,所以,所以四点共面,所以平面平面,故B正确; 对于C,连接,易证,所以四边形是平行四边形,所以,所以平面,平面,所以平面,故C正确;对于D,连接,易知,异面直线与所成角即直线与所成角,即,设正方体的边长为,所以,所以,所以异面直线与所成角的余弦值是,故D正确.故选:BCD11.设等差数列的前项和为,且满足,,则下列说法正确的是()A.最大B. C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式推导出,,即可判断A、B、C,利用特殊值判断D.【详解】因为,,所以,所以,,故C错误;所以,且,故B正确;所以,则单调递减,且,所以最大,故A正确,令,,则,,则,故D错误.故选:AB12.已知抛物线为坐标原点,一束平行于轴的光线从点射入,经过上的点反射后,再经上的另一点反射后,沿直线射出,经过点,延长交的准线于点,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线的光学性质可知,直线经过抛物线的焦点,直线平行于轴,由此可求出点的坐标,判断各选项的真假.【详解】如图所示: 因为过点且轴,故,故直线,化简得,由消去并化简得,所以,,故A错误;又,故,B,故,故B错误;因为,故为等腰三角形,所以,而,故,即,故C正确;直线,由得,,故,所以三点共线,故D正确.故选:CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,若与垂直,则___________.【答案】##【解析】【分析】由向量垂直可得,即可求出. 【详解】因为,所以,,因为与垂直,所以,解得.故答案为:.14.若圆被直线平分,则圆的半径为__________.【答案】【解析】【分析】首先根据条件确定圆心在直线上,代入求后,即可求圆的半径.【详解】若圆被直线平分,则直线过圆心,圆的圆心为,即,解得:,则圆,则圆的半径为.故答案为:15.正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2(如图),分别为棱的中点,则__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意得到, ,结合向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】由题意,可得,,又由正八面体的棱长都是,且各个面都是等边三角形,在中,由,可得,所以,所以.故答案为:.16.已知数列是正项数列,是数列的前项和,且满足.若,是数列的前项和,则_______.【答案】【解析】【分析】利用将变为,整理发现数列{}为等差数列,求出,进一步可以求出,再将,代入,发现可以裂项求的前99项和.【详解】 当时,符合,当时,符合,【点睛】一般公式的使用是将变为,而本题是将变为,给后面的整理带来方便.先求,再求,再求,一切都顺其自然.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.已知直线和直线.(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的值.【答案】(1)0或2(2)【解析】【分析】(1)根据两直线垂直的公式,即可求解;(2)根据两直线平行,,求解,再代回直线验证.【小问1详解】若,则,解得或2;【小问2详解】若,则 ,解得或1.时,,满足,时,,此时与重合,所以.18.已知等差数列的首项为1,其前项和为,且是2与的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)若是数列的前项和,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为,由等比中项的性质即可得,在由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出,即可求出数列的通项公式;(2)由裂项相消法求和即可;【小问1详解】设等差数列的公差为,由题意,即,解得,,即数列的通项公式为.【小问2详解】, .19.在三棱锥中,平面,平面平面.(1)证明:平面;(2)若为中点,求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可;(2)由,求出,,由空间向量夹角的公式代入求解即可.【小问1详解】证明:过点作于点,平面平面,平面平面平面,平面,又平面.平面平面.平面平面.【小问2详解】由(1)知,设,则.为中点,, 与夹角的余弦值为.20.已知是各项均为正数的等比数列,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设等比数列的公比为,由等比数列的性质可得,解方程求出,即可求出的通项公式;(2)求出,再由错位相减法求和即可.【小问1详解】设等比数列的公比为,由,得,即,解得(舍)或.【小问2详解】,,相减得:, ,所以21.如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,,二面角的大小为,是中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)先利用线线平行证明线面平行,再证面面平行,最后由面面平行证明线面平行;(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量法求解二面角的余弦值.【小问1详解】取中点,连接,因为直角梯形中,,且,所以四边形是平行四边形,平面平面,平面.又是中点平面平面,平面,又平面,平面平面,平面平面.【小问2详解】连接,由知:,由(1)知:且, ,在平面内过点作交于点,则两两互相垂直,以为坐标原点,以方向分别为轴正方向,建立空间直角坐标系,则,从而,设平面的法向量为,即,令,得,易知平面的一个法向量为,,由题意知,二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.22.已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点,且的中点在双曲线的渐近线上.(1)设的斜率分别为,求证:为定值;(2)判断的面积是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)定值,1【解析】【分析】(1)设,借鉴点差法原理构造求解.(2)设,联立双曲线,可找到,同理可找出,由面积公式表示出化简即可【小问1详解】设,则由的中点在双曲线的渐近线上,则,即为定值.【小问2详解】(1)(2)联立(1)(2)得:同理,设到直线的距离为,则由(1)知:
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发布时间:2023-07-25 08:51:02
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