宁夏银川一中2023-2024学年高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版附答案）

银川一中2024届高三年级第二次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集，集合，，则A．B．C．D．2．“”是“”的A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知偶函数在区间上单调递减，，若，则的取值范围是A．B．C．D．4．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是A．B．C．D．5．已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是A.B.C.D.6．已知是奇函数，则A．2B．C．1D．-27．若，则α不可能是A．B．C．D．8．若函数在单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．9．设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是A．B．C．D．10．设，，则的大小关系为A．B．C．D．11．已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.12．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为A．2B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．____________.14．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则___________. 15．随着国家“双碳”（碳达峰与碳中和的简称）目标的提出，我国风电发展驶入快车道，陆地、海上的风机（如下左图，顶端外形是大风车，又称风力发电大风车）纷纷“拔地而起”，成为保护环境、输送绿色能源的“风中使者”．如图，一学习兴趣小组为了测量某风力发电大风车AB的高度，在点A正东方点C处测得风车顶端点B的仰角为30°，在点A南偏西30°方向的点D处测得点B的仰角为60°，且C，D相距米，其中平面ADC，则AB的高度为米．16．已知过点可作两条不同的直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.18．（12分）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：第天1310…30日销售量（百件）23…未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为且为整数，而后15天此商品每天每件的利润(元)与时间第天的函数关系式为(，且为整数）.(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.19．（12分）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，，使得.20．（12分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若.(1)求角的大小；(2)若为上一点，，，求的最小值.21．（12分）已知函数，为的导数.(1)证明：在区间上存在唯一极大值点；(2)求函数的零点个数.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系中，圆的半径为，半径均为的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，，是半圆弧上的一个动点，是半圆弧上的一个动点.（1）若，求点的极坐标；（2）若点是射线与圆的交点，求面积的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，求证：（1）；（2）. 银川一中2024届高三第二次月考数学(理科)参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CADCAABDCDCD二、填空题13．114.15.4016.三、解答题17.【答案】(1)，单调递增区间为.(2).(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.试题解析：(1)，最小正周期，函数的单调递增区间满足：，解得的单调递增区间为.(2)，所以，，所以的值域为.而，所以，即.18.【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数）(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可【详解】（1）若选择模型（1），将以及代入可得解得，即，经验证，符合题意；若选择模型（2），将以及代入可得，解得，即，当时，，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）（2）记日销售利润为，当且为整数时，，对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）当且为整数时，，当时，利润单调递减，故当时取得最大值，且最大值为（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.19.【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求解单调区间作答.（2）由（1）求出函数在的最大值，结合题意构造函数，利用导数推理作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，，当时，恒有，函数在上单调递减；当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增；当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增；所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，于是当时，，使得成立，当且仅当时，成立，即当时，成立，令函数，求导得，令，求导得，于是函数单调递增，即在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，即当时，成立，所以当时，，使得.20.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，所以，所以是钝角，所以.（2），，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.21.【答案】(1)证明见解析(2)2【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且，令，，所以，，令，，则，当时，，所以，即在上单调递减，又，，，则存在，使得，即存在，使得，所以当时，，当时，，所以为的唯一极大值点，故在区间上存在唯一极大值点；（2）由（1）知，，，①当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以存在，使得，所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，所以当时，有唯一的零点；②当时，，单调递减，又，所以存在，使得； ③当时，，所以，则在没有零点；综上所述，有且仅有2个零点.22.【详解】（1）由知：，，...................2分    点的极角为，点的极坐标为....................5分（2）  由题意知：，，，，.................7分，，，..........10分23【详解】（1）因为，所以，即，...................2分当且仅当且，即时，等号成立，所以，即，故....................5分（2）因为，因为，当且仅当，即取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，...................7分上面三式相加可得，即，当且仅当，，且，即时，等号成立，因为，所以，所以....................10分