宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题（附答案）

银川一中2022届高三年级第二次月考理科数学　　　　　注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合的真子集的个数是A．7B．3C．4D．82．已知为虚数单位，复数，则的虚部为A．B．C．D．3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是A．B．C．D．4．若是上周期为3的偶函数，且当时，，则A．B．2C．D．5．数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃､最主动､最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国的一个大学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据这个猜想设计的程序框图，则输出的i为A．4B．5C．6D．76．的展开式中的常数项为A．8B．28C．56D．707．有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是A．168B．260C．840D．5608．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A．B．C．D．9．A．B．C．D．10．把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f(x)=[x]称作取整函数，又叫高斯函数，在[2,5]上任取x，则[x]=[]的概率为A．B．C．D．11．已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数是奇函数D．12．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则在处的切线方程是________．14．在一个不透明的袋中装有5个白球，3个红球（除颜色外其他均相同），从中任意取出2个小球，记事件为“取出的球中有红色小球”，事件为“取出的2个小球均是红球”，则__________．15．一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A．”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C．”李说：“我选的是D．”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是__________.16．已知函数．下面四个结论①是奇函数②在上为增函数③若，则④对任意实数x恒成立其中正确的是__________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分17.(12分)设，其中为实数．（1）设集合，集合，若，求实数的取值范 围；（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．18．(12分)设函数（1）当时，求曲线的极值；（2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围．19．(12分)核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；（2）现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．20.(12分)2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部长肖亚庆先生提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接纯收益（亿元）的数据统计如下：序号12345678910111223468101321222324251322314250565868.56867.56666当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2 （附：刻画回归效果的相关指数，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，应用（1）的结论，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：线性回归方程的系数关系：）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励：若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励4元．记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．（附：若随机变量，则，）21.(12分)已知函数f(x)=ex-1，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过定点且与曲线交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的斜率为2，求的值.23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，使得，求的取值范围. 银川一中2022届高三第二次月考数学(理科)（参考答案）题号123456789101112答案BBACCBCABBBD二、填空题13.14.15．孙李16.234三、解答题17．解：（1）化简，又，所以（2）由，得等价于，且，设，在上严格增，在上严格减，g(1)=1,g(3)=3,g(x)在(0,3)内的图象如图所示.由题意等价于直线与函数在上恰有两个交点，此时.18．解：（1）∵，，，，所以函数在x=-处取得极小值（2）∵函数在区间内单调递减，∴在区间上恒成立；即，∵∴即在区间上恒成立∴，解得，∴的取值范围是19．【解】（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，由题意可知，4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为；（2）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以 ，，所以随机变量的分布列为：15所以方案二检测次数的数学期望为；方案三：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，所以，，，所以随机变量的分布列为：246所以方案三检测次数的期望为，因为，所以选择方案二最优．20【解】（1）由表格中的数据，，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．（2）由（1）回归模型②的拟合效果更好，其回归方程为，所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．当时，由已知可得．．所以．所以当时，与满足的线性回归方程为． 当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入亿元时，公司的实际收益更大．（3）因为，，所以；．所以（元）．21解（1）设，，.因为在为增函数，且，所以，，为减函数，，，为增函数.所以，，即证.（2）设直线与切于，与切于，.，，，所以切线为.因为，即，即.又因为，将，代入，得：，整理得.设，，因为在为增函数，且时，，所以，，为减函数，，，为增函数.，又因为，，所以在上有两个零点，即方程有两个根， 所以有两条直线与函数及的图象均相切.22．（1）；（2）.【详解】（1）由得.于是，∴，所以曲线的直角坐标方程为.（2）设直线的倾斜角为，则，于是，，所以直线的参数方程为（为参数）.将，代入得，所以，，所以.23．（1）或}；（2）答案见解析.【详解】解：（1）当时，．当时，，所以；当时，，不成立；当时，，所以，所以，综上可知，所求解集为或}．（2）要求，使得时，的取值范围，可先求，使得时，的取值范围，，，当时，恒成立；当时，，综上，，使得时，的取值范围为，故，使得时，的取值范围为．