辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高三数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

20230919数学统练一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.【详解】因为，所以，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.2.函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求导，令f′(x)<0，解得0<x<，解之可得选项.【详解】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，令f′(x)<0，解得0<x<，故f(x)的单调递减区间是.故选：B．【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，关键在于求得导函数取正负的区间，属于基础题.3.已知命题p：，若是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出给定命题的否定，再利用全称量词命题为真求解作答.【详解】依题意，命题：，即，而函数在上单调递增，因此恒有，则，所以实数a的取值范围是.故选：B4.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.5.已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1，1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是A.(0，2)B.(1，)C.(1，2)D.(0，)【答案】B【解析】【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣x）＝﹣f（x），且f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a取值范围．【详解】∵函数f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），则f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜， 故选B．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．6.设函数，则下列是函数f（x）极大值点的是（）A.πB.-πC.πD.-【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：由，得，令，则或，则当时，，当时，，所以函数在递减，在上递增，所以函数f（x）极大值点的是.故选：D.7.已知，，，且，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.【详解】由题意，得，，．设，则，当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，结合，时，；时，，易画出的草图（如下图），又，，，结合a，b，c的取值范围及的图象，可得，故选：D8.设，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则， 令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得【详解】已知,对各选项逐一判断：选项A：因为,由不等式性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.选项D：因,所以,所以,即,所以选项D正确.故选：D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根 D.若时，，则t的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；对于B，，当时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．11.若函数有两个极值点，设这两个极值点为，，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】求导分析出函数的极大值点即可.【详解】，，令，则方程两根为，，且，所以，，，，所以，为的极大值点，即.故选:D.12.已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，总有>0，则下列结论正确的是（）A.f(-6)<f(0)B.f(0)<f(-3)C.f(0)<f(-6)D.f(-3)<f(0)【答案】CD【解析】【分析】根据对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有>0，不妨设0≤x1<x2，得到f(x1-2)<f(x2-2)，从而f(x-2)在[0，+∞)上是增函数，即f(x)在[-2，+∞)上是增函数，然后根据f(x-2)是偶函数，即f(x-2)的图像关于y轴对称求解.【详解】因为对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有>0，不妨设0≤x1<x2，因为>0，所以f(x1-2)-f(x2-2)<0，f(x1-2)<f(x2-2)，所以f(x-2)在[0，+∞)上是增函数，所以f(x)在[-2，+∞)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数，所以f(x-2)的图像关于y轴对称，故f(x)的图像关于直线x=-2对称， 所以f(-6)=f（2），f(-3)=f(-1)，则f(-3)<f(0)<f(-6).故选：CD.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性在比较函数值大小中的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由，可得,再将同乘可得答案.【详解】因为，所以，所以，.将不等式,同乘以,则，即.故答案为.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.14.若函数（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先求函数的导数，由题意可知，恒成立，讨论的取值，结合不等式恒成立的条件，即可求解.【详解】，因为函数是减函数，所以恒成立．令，则恒成立， 当时，成立，所以满足条件．当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意，舍去．当时，要使恒成立，则，解得，又，所以.综上可得，实数的取值范围是．故答案为：15.已知函数，则的极大值点为______，极大值为______.【答案】①.2e②.2ln2【解析】【分析】首先求函数的导数，并求，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值.【详解】易求，，所以，则，因此，，由得，由得.所以函数在上单调递增，在上单调递减．因此的极大值点为，极大值为.故答案为：；16.已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知条件建立关系求出a+b即可得解.【详解】设切点为，由求导得，因直线与曲线相切，则，解得，则， 而切点在直线上，即，于是得，因此，，当且仅当时取“=”，所以当时，取最大值1.故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设p：实数x满足，q：实数x满足.（1）若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化简命题，，再求交集作答.（2）根据给定条件化简命题，结合（1）中信息，利用集合的包含关系求解作答.【小问1详解】由，得，解得，于是命题：，当时，由，解得，于是命题：，由命题，均为真命题，得，所以实数x的取值范围.【小问2详解】当时，由，解得，于是命题：，由是的充分不必要条件，得Ü，因此或，解得或，则，所以实数a的取值范围是.18.（1）当时，求的最小值； （2）已知函数，若对任意的正数a，b，满足，求的最小值.【答案】（1）10；（2）12【解析】【分析】（1）先把化为，然后使用基本不等式求解；（2）先判断函数为单调递减的奇函数，然后得，最后利用基本不等式中常数代换求解即可.【详解】（1），因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为10.（2）因为，所以恒成立，故的定义域为R，且，所以为奇函数，由，得，又，易知函数在R上是减函数，从而，所以，因，，所以.当且仅当，即，时等号成立.故的最小值为12.19求解下列两题（1）已知函数（且），当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．（2）已知函数，若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数运算化简，再根据不等式恒成立，转化为求函数的最小值，即可求解；（2）首先参变分离，根据方程有解，转化为求函数的值域问题，即可求解.【小问1详解】设，，再设，．，，，故，对任意恒成立，，即故实数的取值范围为；【小问2详解】由题意，关于的方程有解，则，令，，又函数在上单调递增，所以当时，，函数的值域为，要使原方程有解，只需，则，故实数的取值范围为． 20.已知函数.（1）求的最小值；（2）证明：对一切，都有成立.【答案】(I).（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）对一切，都有成立，即，结合（1）中结论可知，构造新函数，分析其最大值，可得答案．【详解】（1）的定义域为，的导数．令，解得；令，解得．从而在单调递减，在，单调递增．所以，当时，取得最小值．（2）若则，由（1）得：，当且仅当时，取最小值；设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，故当时，取最大值故对一切，都有成立．【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．21.已知函数. （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；（2）令，将问题转化为对任意恒成立；求导后，当时，可知单调递增，由此可知；当时，可知在上单调递减，可知此时不满足；综合两种情况可得结果.【小问1详解】，在处的切线与平行，，解得：.【小问2详解】令，则对任意恒成立，；①当时，，则在上恒成立，，满足题意；②时，令，解得：；当时，，此时单调递减，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.22.已知函数.（1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由题知，进而令，将问题转化为已知，证明：，再根据极值点偏移问题求解即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为【小问2详解】解：因为，故，即，故，设，则，不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明：.证明如下：若，恒成立；若，即时，要证：，即证，而，即证，即证：，其中设，，则， 因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.