江西省部分学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

12023~2024学年度第一学期月考考试高二数学试题姓名：分数：卷I（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）1．下列说法正确的是（    ）A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体2．如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ）  A．B．C．D．3．手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形，如图所示，其中为对角线，该几何图形恰好能折叠组装成一个正方体卡片纸盒，则在正方体卡片纸盒中，下列各选项正确的是（    ）  A．B．C．D．4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，则5．在正四面体中，，，分别为，，的中点，则（    ）  A．与平行，平面平面B．与异面，平面平面C．与平行，与平面平行D．与异面，与平面平行6．如图，在长方体中，为的中点，M为的中点．则与的位置关系为（    ）  A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对7．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（    ）A．B．C．D．38．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（    ）  A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题意．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列命题正确的是（    ）A．不共线的三点确定一个平面B．平行于同一条直线的两条直线平行C．经过两条平行直线，有且只有一个平面D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（    ）  A．，，，四点共面B．C．直线平面D．三棱锥的体积为11．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（    ）  A．平面B．与平面所成角为C．面D．点到面的距离为212．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）  A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2卷II（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：①PO⊥底面ABC；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是．14．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为．15．如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于  16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的表面积为．  四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17题10分，18-22分12分。） 17．如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.18．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点  (1)求AE的长；(2)求EF与CG所成角的余弦值.19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．求证：平面．  20．如图，在斜三棱柱中，，为的中点．  (1)证明：平面；(2)证明：平面平面．21．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.  (1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.22．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.  (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； 高二数学试题1．D【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确.【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选：D2．C【分析】根据斜二测画法的规则，可得，结合面积公式，即可求解.【详解】由正方形的边长为，可得，根据斜二测画法的规则，平面图形中，可得，如图所示，所以原图形的面积为.故答案为：C.  3．A【分析】先还原出正方体，然后利用正方体中的位置关系判断每个选项.【详解】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知，，A正确，B错误，连接，则是等边三角形，于是与，的夹角均为，C，D选项错误.故选：A  4．D【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；  B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；  C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；  D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.故选：D5．B【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系有关知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】与：平面，平面，， 所以与异面，A选项错误.与：由于分别是的中点，所以，由于，所以与是异面直线，C选项错误.连接，由于是等边三角形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，所以B选项正确.设是的中点，连接，由于是的中点，所以，所以，所以平面也即平面，平面，所以D选项错误.故选：B  6．C【分析】取的中点，利用勾股定理及三垂线定理即可判定.【详解】如图所示，取的中点，连接，由长方体性质及已知，易知：平面，所以为在平面内的投影，由题意得，，所以，所以，由三垂线定理知.故选：C7．C【分析】根据给定条件，用表示出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式求解作答.【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得，从而圆锥的高，因此圆锥的体积，解得.故选：C8．B【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可.【详解】设底面棱长为，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.故选：B9．ABC【分析】根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案.【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确;如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；故选:ABC．10．BCD【分析】对于A，根据四点所在线是否是异面直线可判断四点是否共面；对于B，根据垂直的传递性判断；对于C，根据线线平行证明线面平行；对于D，根据等体积法先对所求三棱锥进行简化.【详解】易知与为异面直线，所以，，，不可能四点共面，故A错误； 由，而，所以，故B正确；由，平面，平面，所以平面，故C正确；由平面，所以，故D正确.故选：BCD.11．ABC【分析】利用线线垂直可判定A项，利用线面角定义可判定B项，利用线线平行可判定C项，利用线面垂直可判定D项.【详解】由于四边形是边长为2的正方形，故，又面，面，∴面，故A正确；  连接PO，由A可知：与平面所成角为，由条件可得，故B正确；易知面，面，即面，故C正确；由A可知点到面的距离为，而，故D错误.故选：ABC12．CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；，，，D正确．故选：CD．13．①③【分析】由正三棱锥性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】解：由正三棱锥性质可得：PO⊥底面ABC，①对；侧棱棱长都相等，底面边长与棱棱长不一定相等，②错；侧面是全等的等腰三角形，③对，故答案为：①③．14．【分析】根据直观图面积是原图形面积的倍即可得出结果.【详解】由题意可知，原图形面积为，又直观图面积是原图形面积的倍，所以直观图的面积为.故答案为：15．/【分析】取中点，根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可得结果.【详解】取中点，连接，  ，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），，，，为等边三角形，，即异面直线与所成角为.故答案为：.16． 【分析】以为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】如图，以为棱作长方体，则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为，则，所以，所以该“阳马”的外接球的表面积为.故答案为：.  17．(1)圆柱的侧面积为，体积为(2)【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；（2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.【详解】（1）圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，圆柱的侧面积.圆柱的体积.（2）将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上.∵，，，，∴在三角形中，由余弦定理得，∴CE＋ED的最小值等于.18．(1)(2)【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；（2）连接，证得，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：在正方体中，可得，因为正方体的棱长为，在直角中，可得.（2）解：取的中点，连接，可得，再连接，因为为棱的中点，可得，所以，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，设，因为正方体的棱长为，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得 在，所以异面直线与所成的角的余弦值为  19．证明见解析【分析】连接交于点，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证.【详解】连接交于点，接，∵底面是菱形，为中点，又∵是的中点，，面，平面，平面  20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形中位线可得∥，进而结合线面平行的判定定理分析证明；（2）由题意可得平面，进而结合面面垂直的判定定理分析证明.【详解】（1）设与交于点，连接，如图，  在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则点为的中点，因为点为的中点，点为的中点，则∥，且平面，平面，∥平面.（2）因为，则四边形是菱形，则，又因为，，可知平面，且平面，所以平面平面．21．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面的判定定理可判定平面；（2）取中点，连接，可得，且,易得平面，再由棱锥体积公式得解.【详解】（1）证明：连接，分别是，的中点，，又平面，平面，平面.   （2）取中点，连接，是的中点，为的中位线，则，且，又平面，平面，所以三棱锥的体积为.22．(1)(2)外接球的表面积为，内切球的体积为【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，所以  设圆柱底面圆的半径为，则，圆柱体积所以剩下的几何体的体积（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，则内切球球的体积直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，它的外接球的球半径满足，即