2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换（Word版附解析）

专题27简单三角恒等变换知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：三角函数式的化简题型二：给角求值题型三：给值求值题型四：给值求角培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．【考点预测】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan2α＝.【常用结论】1.1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2.(升幂公式)2.1±sinα＝2.(升幂公式)3.sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)【方法技巧】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.二、【题型归类】【题型一】三角函数式的化简 【典例1】＝(　　)A.－B.1C.D.2【解析】原式＝＝＝＝.故选C.【典例2】化简：＝________.【解析】原式＝＝＝＝＝cos2x.【典例3】(tan10°－)·＝________.【解析】原式＝·＝＝－2.【题型二】给角求值【典例1】sin40°(tan10°－)等于(　　)A．2B．－2C．1D．－1【解析】sin40°·(tan10°－)＝sin40°· ＝sin40°·＝sin40°·＝sin40°·＝sin40°·＝sin40°·＝＝＝－1.故选D.【典例2】cos20°·cos40°·cos100°＝.【解析】cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.【典例3】的值为(　　) A．1B.C.D．2【解析】原式＝＝＝＝.故选C.【题型三】给值求值【典例1】已知cos＝，θ∈，则sin＝.【解析】由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.【典例2】若tanα＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为．【解析】∵tanα＋＝，α∈，∴tanα＝3或tanα＝(舍)， 则sin＋cos2α，＝sin2αcos＋cos2αsin＋·＝sin2α＋cos2α＋＝(2sinαcosα)＋(cos2α－sin2α)＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.【典例3】已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.【题型四】给值求角【典例1】在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________．【解析】法一：由已知可知cosα＝，sinβ＝.又α，β为锐角，所以sinα＝，cosβ＝.因此cos2α＝2cos2α－1＝，sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.法二：同法一得，cosβ＝，sinα＝.因为α，β为锐角，所以α－β∈.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，故cos(α－β)＝＝＝. 又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinα·sin(α－β)＝×－×＝.所以2α－β＝.【典例2】已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.【解析】∵0<β<α<，∴0<α－β<，sinα＝.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.又0<β<，∴β＝.【典例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________.【解析】∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，∴0<α<， 又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求f(x)的值域.【解析】(1)f(x)＝sin2xcos－cos2xsin＋1－cos2x＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈，∴2x－∈，∴－≤sin≤1，∴－≤sin＋1≤＋1，∴f(x)的值域为.【训练二】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？【解析】如图，连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.因为θ∈，所以当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400m2.此时AO＝DO＝10m.故当点A，D到圆心O的距离为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.【训练三】已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．【解析】(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈， 所以cosα＝.由f＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.【训练四】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan＝；④tan＝－.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①③B．①③④C．①④D．②③④【解析】设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，在Rt△ABC中，因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12.所以水深为12尺，芦苇长为13尺．所以tanθ＝，所以tanθ＝＝，解得tan＝(负根舍去)，因为tanθ＝，所以tan＝＝－，故正确结论的编号为①③④.故选B.【训练五】已知a为正整数，tanα＝1＋lga，tanβ＝lga，且α＝β＋，则当函数f(x)＝asinθ－cosθ(θ∈[0，π])取得最大值时，θ＝(　　) A.　　　B.C.　　　D.【解析】因为α＝β＋，所以α－β＝，所以tan(α－β)＝1，即＝＝1，解得a＝1或a＝(舍去)．则f(x)＝sinθ－cosθ＝2sin，由于θ∈[0，π]，所以θ－∈.则当θ－＝，即θ＝时，函数f(x)取得最大值．故选C.【训练六】若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.B.C.或D.或【解析】∵α∈，∴2α∈，∵sin2α＝＞0，∴2α∈，∴α∈且cos2α＝－.又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝×－×＝，又∵α＋β∈，∴α＋β＝.故选A.四、【强化测试】【单选题】1.计算：＝(　　)A．B．－C．D．－【解析】原式＝－·＝－tan＝－×＝－.故选D.2.若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)A．－B．C．D．【解析】由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.3.若＝sin2θ，则sin2θ＝(　　)A．B． C．－D．－【解析】由题意知＝sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，解得sin2θ＝－或sin2θ＝2(舍去)．故选C.4.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝(　　)A．B．2C．4D．1【解析】因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tanα＝－2.由三角形内角和定理得α＋2θ＝π，所以tan2θ＝tan(π－α)＝－tanα＝2，即＝2，整理得tanθ＋tan2θ＝1，所以＝＝tanθ＋tan2θ＝1.故选D.5.已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　　)A．或　　　　　　　B．或C．或D．或【解析】因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos≥0，sin≤0，则＋＝＋＝cos－sin＝cos＝，所以cos＝， 所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或.故选D．6.计算：等于(　　)A.B.C.D．－【解析】＝＝＝.故选A.7.设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝【解析】因为tanα＝，所以＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sinx在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝.故选B.8.若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A．B．C．或D．或 【解析】因为α∈，β∈，所以2α∈.又0<sin2α＝<，所以2α∈，即α∈，所以β－α∈，所以cos2α＝－＝－.又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝.又α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝。故选A．【多选题】9.下列各式中值为的是(　　)A.1－2cos275°B.sin135°cos15°－cos45°cos75°C.tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°D.【解析】对于A，1－2cos275°＝－cos150°＝cos30°＝，A错误；对于B，sin135°cos15°－cos45°cos75°＝sin45°sin75°－cos45°cos75°＝－cos120°＝，B正确； 对于C，∵tan45°＝1＝，∴1－tan20°tan25°＝tan20°＋tan25°，∴tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1，C错误；对于D，＝＝＝＝＝，D正确；故选BD.10.函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间可以是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】f(x)＝sinxcosx＝sin2x，由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间是(k∈Z)，∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确.故选AB. 11.已知f(x)＝(1＋cos2x)sin2x(x∈R)，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期T＝B．f(x)是偶函数C．f(x)的最大值为D．f(x)的最小正周期T＝π【解析】∵f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，∴f(－x)＝[1－cos4(－x)]＝(1－cos4x)＝f(x)，T＝＝，f(x)的最大值为×2＝，故A，B，C正确，D错误．故选ABC.12.下列说法不正确的是(　　)A．存在x∈R，使得1－cos3x＝log2B．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期为πC．函数y＝cos2的一个对称中心为D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角 【解析】在A中，因为cosx∈[－1,1]，所以1－cos3x≥0，因为log2<log21＝0，所以不存在x∈R，使得1－cos3x＝log2，故A错误；在B中，函数y＝sin2xcos2x＝sin4x的最小正周期为，故B错误；在C中，令2＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以函数y＝cos2的对称中心为，k∈Z，故C错误；在D中，因为cos(－3)＝cos3<0，sin(－3)＝－sin3<0，所以角α是第三象限角，故D正确．故选ABC.【填空题】13.若α∈，sinα＝，则tan2α＝.【解析】∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－3，∴tan2α＝＝＝.14.已知sinα＝cos2α，α∈，则tanα＝.【解析】∵sinα＝cos2α＝1－2sin2α，α∈， ∴sinα＝或sinα＝－1(舍去)，∴α＝，则tanα＝tan＝－tan＝－.15.已知tan＝3，则sin2θ－2cos2θ＝.【解析】∵tan＝3，∴tanθ＝tan＝＝＝，∴sin2θ－2cos2θ＝＝＝＝－.16.＝.【解析】原式＝＝＝＝＝＝－4.【解答题】17.已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinx·cosx.(1)求f 的值；(2)若f ＝，α∈，求cosα的值．【解析】(1)因为f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx ＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin，所以f ＝1＋2sin＝1＋2sin ＝1＋1＝2.(2)由f ＝，α∈，得sin＝，cos＝，所以cosα＝cos＝coscos ＋sinsin ＝.18.如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？【解析】设∠PAB＝α，连接PB.∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°.又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα.∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α.又PC＝1， ∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC＝PA·PB＋PB·PC·sinα＝cosαsinα＋sin2α＝sin2α＋(1－cos2α)＝(sin2α－cos2α)＋＝sin＋，由已知，得sin＋＝，∴sin＝，又α∈，∴2α－∈，∴2α－＝，∴α＝，故当点P位于AB的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于.19.已知0＜α＜，0＜β＜，cosα＝，cos(β＋α)＝.(1)求sinβ的值；(2)求的值.【解析】(1)由0＜α＜，0＜β＜，cosα＝，cos(β＋α)＝，得sinα＝，sin(β＋α)＝.所以sinβ＝sin[(β＋α)－α] ＝sin(β＋α)cosα－cos(β＋α)sinα＝×－×＝.(2)因为cosα＝，sinα＝，所以＝＝＝12.20.已知0<α<<β<π，cos＝，sin＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值.【解析】(1)法一　因为cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，所以cosβ＋sinβ＝，所以1＋sin2β＝，所以sin2β＝－.法二　sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)因为0<α<<β<π，所以<β－<π，<α＋β<.所以sin>0，cos(α＋β)<0， 所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.21.已知α，β为锐角，tan＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝.又α为锐角，且sin2α＋cos2α＝1，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－.(2)由(1)得，sin2α＝2sinαcosα＝，则tan2α＝＝－.∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝＝，则tan(α＋β)＝＝－2，∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.22.已知向量a＝，b＝，函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，f(β)＝，求f 的值．【解析】(1)f(x)＝cos2－sin2＋2sin cos ＝cosx＋sinx＝2sin，令x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ，k∈Z，∴f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为.(2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝，∵0<β<，∴<β＋<，又f(β)＝2sin＝，∴sin＝∈，∴<β＋<，∴cos＝， ∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝，∴f ＝2sin＝2sin＝2cos＝.