重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(原卷版）

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：待定系数法求双曲线方程一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（       ）A．B．C．D．2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（       ）A．1B．C．2D．33．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(       )A．B．C．D．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知，是双曲线的两个焦点，R是C上的一点，且，，C经过点，则C的实轴长为（       ）A．B．C．6D．3二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，两条渐近线的夹角正切值为，直线：与双曲线的右支交于，两点，设的内心为，则（       ）A．双曲线的标准方程为B．满足的直线有2条C．D．与的面积的比值的取值范围是 6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（       ）A．双曲线的离心率为2B．双曲线的实轴长为C．点的横坐标的取值范围为D．点的横坐标的取值范围为三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是___________.四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线E上.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若动直线l与双曲线E相切，过点作直线l的垂线，垂足为H，试判断是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线：（a＞0，b＞0）经过点，且渐近线方 程为．(1)求，的值；(2)点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：点与点的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：（）的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，∥（为坐标原点）.(1)求双曲线的方程；(2)过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值.12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4. (1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型二：相同渐近线双曲线方程求法一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（       ） A．B．C．或D．或2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（       ）．A．B．C．4D．23．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为A．B．C．D．二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（       ）A．的方程为B．的离心率为2C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则下列结论正确的是（       ）A．双曲线的离心率为B．双曲线与双曲线有相同的渐近线C．若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为D．若直线与渐近线围成的三角形面积为则焦距为三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为______．7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为_________四、解答题 8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程，则该双曲线的离心率为（       ）A．B．C．D．2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（       ） A．B．C．D．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（          ）A．B．C．D．4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ）A．B．C．D．5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（       ）.A．B．C．D．二、多选题 6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（       ）A．双曲线和C的离心率相等B．若P为C上一点，且，则的周长为C．若直线与C没有公共点，则或D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C：（），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________________．8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为___________.9．（2022·浙江·三模）已知双曲线的两个焦点分别为，点是双曲线第一象限上一点，在点P处作双曲线C的切线l，若点到切线l的距离之积为3，则双曲线C的离心率为_______．四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知，点，，动点P满足，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程； (2)直线与曲线C相切，与曲线交于M､N两点，且（O为坐标原点），求曲线E的离心率.题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（       ）A．B．C．D．2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（       ）A．B．2C．D．3．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（       ）A．B．C．D．二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，是 的一条渐近线，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，则（       ）A．过点且与圆相切的直线与双曲线没有公共点B．的离心率的最大值是C．若，则的离心率的取值范围是D．若，则的离心率为三、双空题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.四、填空题6．（2022·河北·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率是__________．7．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为､，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的离心率为___________.8．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为___________.五、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 10．（2021·全国·高三专题练习）设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围.题型五：渐近线综合问题一、单选题1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，离心率，过的直线与的两条渐近线的交点分别为为直角三角形，，则的方程为（       ）A．B． C．D．2．（2022·山西吕梁·三模（文））已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（       ）A．B．C．D．23．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(       )A．B．C．D．4．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））设双曲线C：（，）的左、右焦点是，，为原点，若以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且，则C的渐近线方程为（       ）A．B．C．D．5．（2022·海南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的焦点坐标为（       ）A．B．C．D．二、多选题6．（2022·福建南平·三模）已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（       ）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D．双曲线上存在点，满足7．（2022·湖南·一模）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线C的渐近线方程为B．双曲线C的离心率为 C．点A到两渐近线的距离的乘积为D．O为坐标原点，则8．（2022·全国·高三专题练习）下列双曲线的渐近线方程为的是（       ）A．B．C．D．三、填空题9．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左､右焦点，则下列说法正确的序号是___________.①；②若，则双曲线C的离心率为；③若点P在双曲线C的右支上，与y轴交于M，，则；④若双曲线C的离心率为，则两条渐近线夹角余弦值为.四、解答题10．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且右焦点到的距离为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为直线上一点，倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，且为等边三角形，求直线在轴上的截距．题型六：利用自变量范围求离心率范围一、单选题1．（2022·山西太原·二模（理））已知双曲线的右焦点为，点Q为双曲线左支上一动点，圆与y轴的一个交点为P，若，则双曲线离心率的最大值为（       ）A．B．C．D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：（，）的右焦点F（，0），点Q 是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（       ）A．B．C．D．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）A．B．C．D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（       ）A．B．C．D．二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（       ）A．若，则曲线为椭圆B．若，则曲线为焦点在轴上的双曲线C．若曲线为双曲线，则其焦距是定值D．若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于三、填空题6．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，则双曲线：的离心率的取值范围是______.7．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是__________.四、解答题 8．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.(1)用a表示；(2)若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.