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重难点12五种椭圆解题方法(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)-(解析版)

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重难点12五种椭圆解题方法(核心考点讲与练)能力拓展题型一:利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1.(2022·湖北·模拟预测)椭圆:有一特殊性质,从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后,经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2,且,当时,椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为:(       )A.1B.C.D.或【答案】C【分析】设过点的切线为,分别做于点,做交轴于点,设,入射角和反射角相等得,利用中位线可得,再根据,可得答案,【详解】设过点的切线为,分别做于点,做交轴于点,所得是的中位线,设,入射角和反射角相等,则,则,因为,当为上顶点时,为,因为,,所以,即,,,故选:C. 2.(2022·黑龙江·哈师大附中三模(文))已知点P为椭圆C:上一点,点,分别为椭圆C的左、右焦点,若,则的内切圆半径为(       )A.B.C.D.【答案】B【分析】首先求和的值,再求的面积,再利用三角形内切圆的半径表示面积,即可求解.【详解】因为,且,所以,,,,则等腰三角形底边上的高,所以,设的内切圆半径为,则,所以.故选:B二、多选题3.(2022·全国·模拟预测)已知椭圆的焦点分别为,,焦距为2c,过的直线与椭圆C交于A,B两点.,,若的周长为20,则经过点的直线(       )A.与椭圆C可能相交B.与椭圆C可能相切C.与椭圆C可能相离D.与椭圆C不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件,结合椭圆定义求出椭圆方程,再判断点与椭圆的位置关系作答. 【详解】由椭圆的定义知,,设,则,则,,而,即有,解得,又的周长为20,则有,解得,,因为,即,解得,则,椭圆C的方程为,显然,即点在椭圆上,所以经过点的直线与椭圆C相交或相切.故选:AB4.(2022·湖北·模拟预测)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点,在y轴上,短轴长等于,离心率为,过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是(       )A.椭圆C的方程为B.椭圆C的方程为C.D.的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出即可选项AB的真假,再利用通径公式判断选项C的真假,再利用椭圆的定义判断选项D的真假.【详解】解:由题意得:,所以,因为,故,因为焦点,在y轴上,所以椭圆C的方程为,所以选项A正确,选项B错误;由通径长可得,,所以选项C正确;的周长为,所以选项D错误.故选:AC.5.(2022·山东菏泽·二模)已知椭圆的左右焦点分别为,,直线与椭圆E交于A,B两点,C,D分别为椭圆的左右顶点,则下列命题正确的有(       )A.若直线CA的斜率为,BD的斜率,则B.存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形 C.取值范围为D.周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项,求出A,B两点坐标,表达出;B选项,验证出,是直角顶点时,不满足等腰性,故不成立,当A是直角顶点时满足题意,得出结论;C选项,设出,求出;D选项,作出辅助线,利用椭圆定义得到直线经过焦点时,此时的周长最大.【详解】将代入椭圆方程,求出,其中,则,A错误;由题意得:,当时,,此时,所以当,是直角顶点时,不满足等腰性,故不成立,当点A是直角顶点时,由对称性可知:此时A在上顶点或下顶点,由于,故满足题意,所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形,B正确;不妨设,则,因为,所以,C错误;如图,当直线经过焦点时,此时的周长最大, 等于,其他位置都比小,例如当直线与椭圆相交于,与x轴交于C点时,连接,由椭圆定义可知:,显然,同理可知:,故周长的最大值为,D正确故选:BD6.(2022·山东德州·高三期末)已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆于A,B两点,若的最大值为5,则下列说法正确的是(       )A.椭圆的短轴长为B.当最大时,C.椭圆离心率为D.面积最大值为【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到,进而判断当轴时,最小,此时最大,进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简,进而根据根与系数的关系求出三角形的面积,然后求出其最大值,最后判断D.【详解】由题意:,根据椭圆的定义可知,,则的最大值为5,根据椭圆的性质可知:当轴时,最小,此时最大,如图: 将代入椭圆方程得:,则.所以短轴长为,A错误;此时,B正确;,C正确;对D,设,,代入椭圆方程得:,则,所以,记,于是,由对勾函数的图象和性质可知:函数在上是增函数,则函数在上是减函数.于是,当u=1,即t=0时,面积最大值为.故D错误.故选:BC.【点睛】本题答案D的判断较为复杂,在求三角形面积时,注意要选线段作为底边将原三角形分为两个三角形,进而得到;在处理最好采用换元法,这样可以简化运算.三、填空题 7.(2022·广东佛山·三模)已知椭圆,、为的左、右焦点,是椭圆上的动点,则内切圆半径的最大值为________.【答案】【分析】根据椭圆定义可得,结合内切圆半径,显然当为短轴顶点时最大,即内切圆半径的最大,此时,代入求解.【详解】∵,则∴的周长∵内切圆半径,则内切圆半径的最大即为最大显然当为短轴顶点时最大,此时则故答案为:.8.(2022·陕西·长安一中三模(理))已知椭圆C:的焦点为,,第一象限点P在C上,且,则的内切圆半径为_________.【答案】【分析】由题意列方程组解出点坐标,由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得,,,则(-1,0),(1,0).设点P的坐标为(,),则,,即①,∵第一象限点P在C上,∴则,即②,联立解得 由椭圆的定义得设的内切圆半径为r,则又∵,∴,即.故答案为:四、解答题9.(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))已知椭圆E:的离心率为,,为其左、右焦点,左、右顶点分别为A,B,过且斜率为k的直线l交椭圆E于M,N两点(异于A,B两点),且的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆上一点,O为坐标原点,,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征,联立方程求,进而求出椭圆的标准方程;(2)设出直线的方程,利用弦长公式求出,再利用两直线垂直斜率乘积为,得出直线,求出,进而得到的函数表达式,求其取值范围即可.(1)依题意知,即,又的周长为8,即,因此椭圆的方程为.(2)当时,点为点,不符合题意,舍去;设直线l的方程为,且,,联立,消去y可得, 则,,所以.设直线OP的方程为,联立解得或不妨设,所以.故,令,,则,令,,开口向上,对称轴在上单调递增,.【点睛】关键点睛:(1)焦点三角形的周长为,本题三角形周长可转化成除去边的两个焦点三角形的其余边长之和;(2)设出直线的方程时应注意;(3)韦达定理与弦长公式要熟练掌握;(4)两直线垂直斜率乘积为,几何关系应牢记;(5)表示出后,换元法求函数值域是常用方法,应注意新元的取值范围; 10.(2022·福建南平·三模)已知椭圆:,,分别为椭圆的左、右焦点,焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M,N两点,已知的周长为,点M关于x轴的对称点为P,直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆的方程;(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1);(2)【分析】(1)由的周长求出,再由焦距求得,进而求出,即得椭圆的方程;(2)设出直线的方程联立椭圆方程求得,表示出直线的方程求出,由表示出面积,结合基本不等式求最大值即可.(1)的周长为,由椭圆定义得,即.又焦距,得,则,所以椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,联立得,设,则,点,直线的方程为,令得,即,又,,当且仅当时即时等号成立,所以四边形面积的最大值为.11.(2022·天津三中二模)已知椭圆的左右焦点分别为,,其离心率,过左焦点的直线l与椭圆交于A,B两点,且的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程;(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E,F两点(点E在第一象限),过点E作x轴的垂线,垂足为点G,设直线与椭圆的另一个交点为H,连接得到直线,交x轴于点M,交y轴于点N,记、的面积分别为,,求的最小值.【答案】(1);(2)4.【分析】(1)利用椭圆的定义可得,结合条件即得;(2)设直线的方程为,,,,利用点差法可得,进而可得直线的方程可设为,然后表示出,,再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率,且的周长为8,所以,,所以,故椭圆的标准方程为;(2)令直线的方程为,,,,由轴,则,∴,,则,由将点E,H代入椭圆的方程可得:,两式作差可得:,所以,由, 所以,所以直线的方程可设为,令时,,令时,,则的面积为,的面积为,则,当且仅当时取等号,所以的最小值为4.12.(2020·河南濮阳·一模(理))如图,已知椭圆的右焦点为,,为椭圆上的两个动点,周长的最大值为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)直线经过,交椭圆于点,,直线与直线的倾斜角互补,且交椭圆于点,,,求证:直线与直线的交点在定直线上.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义可得,周长取最大值时,线段过点,可求出,从而求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线,直线,,,,.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程,利用韦达定理和弦长公式求出和,根据求出的值.最后直线与直线的方程联立,求两直线的交点即得结论. 【详解】(Ⅰ)设的周长为,则,当且仅当线段过点时“”成立.,,又,,椭圆的标准方程为.(Ⅱ)若直线的斜率不存在,则直线的斜率也不存在,这与直线与直线相交于点矛盾,所以直线的斜率存在.设,,,,,.将直线的方程代入椭圆方程得:.,,.同理,.由得,此时.直线,联立直线与直线的方程得,即点在定直线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于难题.题型二:待定系数法求椭圆方程一、单选题1.(2022·河北唐山·三模)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆的面积为,两个焦点分别为,点P为椭圆C的上项点.直线与椭圆C交于A,B两点,若的斜率之积为,则椭圆C的长轴长为(       ) A.3B.6C.D.【答案】B【分析】由题意得到方程组①和②,即可解出a、b,求出长轴长.【详解】椭圆的面积,即①.因为点P为椭圆C的上项点,所以.因为直线与椭圆C交于A,B两点,不妨设,则且,所以.因为的斜率之积为,所以,把代入整理化简得:②①②联立解得:.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选:B2.(2022·全国·模拟预测)已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点,,与轴交于点,点,是线段的三等分点,则该椭圆的标准方程是(       )A.B.C.D.【答案】B【分析】不妨设在第一象限,由椭圆的左焦点,点,是线段的三等分点,易得,代入椭圆方程可得,又,两式相结合即可求解【详解】 不妨设在第一象限,由椭圆的左焦点,点,是线段的三等分点,则为的中点,为中点,所以,所以,则即,所以,,将点坐标代入椭圆方程得,即,又,所以,,所以椭圆的标准方程是.故选:B3.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率等于,点在双曲线C上,椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同,斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点.若线段AB的中点坐标为,则椭圆E的方程为(       )A.B.C.D.【答案】D【分析】由离心率和点求出双曲线的方程,进而求出焦点,设出椭圆的方程及的坐标,由点差法得到,结合中点坐标及斜率求得, 再利用焦点坐标,即可求解.【详解】设双曲线方程为,则,解得,故双曲线方程为,焦点为;设椭圆方程为,则椭圆焦点为焦点为,故,设,则,两式相减得,整理得,即,解得,故,椭圆方程为.故选:D.二、多选题4.(2022·全国·模拟预测)已知直线x=my-1经过椭圆C:的一个焦点F,且与C交于不同的两点A,B,椭圆C的离心率为,则下列结论正确的有(       )A.椭圆C的短轴长为B.弦的最小值为3C.存在实数m,使得以AB为直径的圆恰好过点D.若,则【答案】BCD【分析】由于直线x=my-1经过定点,则由题意得,再由离心率为可求出,从而可求出,则可求出椭圆方程,然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可【详解】依题意可知,直线x=my-1经过定点,所以.又椭圆C的离心率为,所以a=2,则,所以椭圆C的短轴长为,所以A选项不正确;当m=0时,弦AB即为椭圆的一条通径,且,所以B选项正确;椭圆C的长轴长为2a=4,所以,当最短时,此时点在以AB为直径的圆外,当趋 近于4时,点在以AB为直径的圆内,因此,存在实数m,使得以AB为直径的圆恰好过点,所以C选项正确;由,得,设,,则,联立整理得,恒成立,则,.因为,所以解得,所以D选项正确.故选:BCD.5.(2022·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,长轴长为,焦距为2c,点P在椭圆C上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c,直线PF2与椭圆C交于另一个点Q,若,点M在圆上,则下列说法正确的是(       )A.椭圆C的焦距为2B.三角形MF1F2面积的最大值为C.D.圆G在椭圆C的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件,解出椭圆C的标准方程,再逐个验证各个选项即可.【详解】△中,原点O为边中点,|OP|=|OF1|=|OF2|,则,设,,则,△中,, 则有,解之得故△为等腰直角三角形:,,故,则又,故.椭圆的方程为选项A:椭圆C的焦距为是2,正确;选项B:圆的半径为△MF1F2面积的最大值为,正确;选项C:,正确;选项D:圆圆心在原点,半径,故圆G在椭圆C的内部,正确.故选:ABCD6.(2021·重庆·高三阶段练习)某文物考察队在挖掘时,挖出了一件宋代小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆:与半椭圆:组成,其中,,设点,,是相应椭圆的焦点,,和,是轴截面与,轴交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线为边界,,在宝珠珠面上,若,则以下命题中正确的是(       )A.椭圆的离心率是B.椭圆上的点到点的距离的最小值为 C.椭圆的焦距为4D.椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比【答案】BC【分析】据题意可知,为正三角形,结合曲线可求出、的方程,然后逐项验证即可.【详解】,是半椭圆:的焦点,,关于原点对称,且,又,为正三角形,,,在上,,.又半椭圆:的短轴与半椭圆:的长轴相等,即,对于半椭圆:,,对于半椭圆:,,,,,,,,半椭圆的方程为:,半椭圆的方程为:对于A选项:椭圆的离心率为:,故A选项不正确;对于B选项:椭圆上的点到距离为的最小值为:,故B选项正确;对于C选项:椭圆的焦距为,故C选项正确;对于D选项:椭圆的长短轴之比为,椭圆的长短轴之比为,,,椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比,故D选项错误;故选:BC三、解答题7.(2022·天津和平·三模)已知椭圆的离心率为,且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程; (2)过右焦点的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求的最小值.【答案】(1)(2)2【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)考虑直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况,当直线斜率不存在时,求出,当直线斜率存在时,设出直线方程,联立后利用弦长公式求出,再表达出直线PQ的方程,表达出,用基本不等式求解最小值,与比较大小,求出最小值.(1)由题意得:,解得:,所以椭圆方程为(2)由(1)知:,当直线的斜率不存在时,,,,此时,当直线的斜率存在时,故可设直线为,联立椭圆方程得:,设,则,其中所以,其中,所以,因为直线PQ为线段MN的垂直平分线, 所以直线PQ:,令得:,所以,故,因为,所以,当且仅当,即时等号成立,所以,因为,所以的最小值为2.【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题,一般思路为设出直线方程,与圆锥曲线联立,得到两根之和,两根之积,表达出线段长或面积等,最后用基本不等式或配方,求导等求解最值或取值范围.8.(2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测(文))已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点,点是椭圆上在第一象限的任意一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,与的面积分别为,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据题意,利用待定系数法即可求出结果;(2)设,利用点斜式求出直线和的方程,求出的坐标,根据题意求 出,由此可知,再根据在椭圆上,可知,由此可得,再利用基本不等式即可求出的最小值,进而求出的范围.(2)解:设椭圆的焦距为由题意可知:,解得,所以;(2)设,由题意可知,所以直线方程为,直线方程为;令代入直线方程,可得,令代入直线方程,可得,所以所以又,所以, 又,所以,当且仅当时等号成立.所以,当且仅当时等号成立.所以,即的取值范围.【点睛】关键点点睛:本题第二问解答关键是对变形成和,然后再对化简整理,利用基本不等式求解,这是解决本题的关键点和突破点.9.(2022·安徽·安庆一中高三阶段练习(理))已知是椭圆的左、右焦点,是的上顶点.到直线的距离为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过的两条直线都不垂直于轴,与交于点与交于点,直线与分别交于两点,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意利用点到直线的距离公式求得b,继而求得a,可得答案.(2)设直线方程,和椭圆方程联立,得到根与系数的关系式,利用点共线表示出点的纵坐标,二者相加,进行化简,可证明结论.(1)由题意知,,是的上顶点,点的坐标为.点的坐标为直线的方程为,即,到直线的距离为,,所以的方程为.(2)证明:直线与轴的交点为, 设,设直线,则,联立直线和曲线的方程,得方程组,消去得则.同理.三点共线,,得,同理..【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系,解决问题的思路要通畅,及联立直线和椭圆方程,求得点的坐标,通过两点的纵坐标之和为0,证明线段相等,解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂,要十分细心. 10.(2022·辽宁葫芦岛·二模)已知椭圆C:的左右顶点分别为A,B,坐标原点O与A点关于直线l:对称,l与椭圆第二象限的交点为C,且.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过A,O两点的圆Q与l交于M,N两点,直线BM,BN分别交椭圆C于异于B的E,F两点.求证:直线EF恒过定点.【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出,设,利用向量数量积求出,将代入椭圆中,求出,得到椭圆方程;(2)先根据得到,进而设出直线方程,联立后得到两根之和,两根之积,利用及求出,得到定点坐标.(1)点O与A关于直线对称,可知,故点,,由题意可设,,于是,解得:,将代入椭圆方程中,,解得:,所以椭圆方程为(2)证明:,,直线l:,由题意得:圆心在直线l:上,设,且,所以,故,则,设直线EF:,,由,得:, 则,,,所以,则,即,解得:(舍去)或,所以直线EF为:,恒过定点【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题,设出直线方程,与圆锥曲线联立,得到两根之和,两根之积,由题干条件得到方程,求出定值.题型三:直接法解决离心率问题一、单选题1.(2022·江苏苏州·模拟预测)已知是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的一个动点,若的内切圆半径的最大值是,则椭圆的离心率为(       )A.B.C.D.【答案】B【分析】依题意可得,,,设内切圆的半径为,根据等面积法得到,即可得到的最大值,从而求出,即可求出椭圆的离心率;【详解】解:由椭圆,可得,,,则,如图, 设内切圆的半径为,,,则,要使内切圆半径最大,则需最大,,又内切圆半径的最大值为,即,解得,所以.则椭圆的离心率故选:B.2.(2022·安徽·蚌埠二中模拟预测(理))一个底面半径为1,高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体,当容器倾斜且其中液体体积不变时,液面与容器壁的截口曲线是椭圆,则该椭圆离心率的取值范围是(       )A.B.C.D.【答案】C【分析】先判断出临界情况下,椭圆,,即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时, 设,.因为圆柱底面积为,故液体体积为,解得,即,,故,所以,,即,所以离心率,即椭圆离心率的取值范围是.故选:二、多选题3.(2022·全国·模拟预测)椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,若方程所表示的直线恒过定点M,点Q在以点M为圆心,C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的是(       )A.椭圆C的离心率为B.的最大值为4C.的面积可能为2D.的最小值为【答案】ABD【分析】A:根据椭圆方程可直接求得,,,和离心率;B:由椭圆的定义可得,结合不等式代入运算;C:点P位于椭圆的上、下顶点时,的面积取得最大,计算判断;D:利用椭圆定义和圆的性质转化处理.【详解】对于选项A,由椭圆C的方程知,,,所以离心率,故选项A正确;对于选项B,由椭圆的定义可得,所以,即的最大值为4,故选项B正确; 对于选项C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,的面积取得最大值,故选项C错误;对于选项D,易知,则圆,所以,故选项D正确,故选:ABD.三、填空题4.(2022·浙江温州·三模)如图,椭圆和在相同的焦点,,离心率分别为,B为椭圆的上顶点,,且垂足P在椭圆上,则的最大值是___________.【答案】【分析】首先分别表示出,设,将表示成关于的三角函数,然后求其最值即可.【详解】由图知,则,设,则,则,当且仅当时等号可取到.故答案为:.5.(2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测(理))如图,,是椭圆与双曲线的公共焦点,,分别是,在第二、四象限的公共点,若,且,则与的离心率之积为_____. 【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出,,再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解:连接,根据椭圆的对称性可知:点是的中点,所以,四边形为平行四边形,若,所以,因为,所以,所以是等边三角形,所以,,,所以,四边形为矩形,所以,在直角三角形中,,所以,,在椭圆中,,可得在双曲线中,,可得所以离心率之积,故答案为:. 四、解答题6.(2022·天津·南开中学模拟预测)已知椭圆的离心率为,斜率为且过点的直线与轴交于点(1)证明:直线与椭圆相切(2)记在(1)中的切点为,过点且与垂直的直线交轴于点,记的面积为的面积为,若,求椭圆的离心率【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立,结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可;(2)根据(1)的结论,结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可.(1)由已知,.令与椭圆方程联立,经过整理,得到,所以,所以直线与椭圆相切.(2)由(1),有,所以,所以,所以.因为,所以,所以.令,得到,所以.因为,所以,所以,所以,所以,所以.【点睛】关键点睛:根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.7.(2022·安徽安庆·二模(理))已知曲线,其离心率为,焦点在x轴上.(1)求t的值; (2)若C与y轴交于A,B两点(点A位于点B的上方),直线y=kx+m与C交于不同的两点M,N,直线y=n与直线BM交于点G,求证:当mn=4时,A,G,N三点共线.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】(1)根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆,从而确定,结合离心率求得答案;(2)设点M.N的坐标,联立直线和椭圆方程,得到根与系数的关系式,表示直线的方程,求得点G坐标,从而表示出直线和直线的斜率,然后结合根与系数的关系式,化简,证明二者相等,即可证明结论.(1)由曲线,其离心率为,焦点在x轴上.可知,曲线是焦点在轴上的椭圆,则其方程可化为,所以必须满足:,解得,因的离心率为,,即,故,解得.(2)由(1)可知的方程为,所以,.把代入,整理得,设,,则,,因为点,所以直线的方程为:.令,得,所以.因为点,所以直线的斜率为,直线的斜率为.所以 .其中,当时,上式等于0,即,这说明,,三点共线.【点睛】本题考查了根据曲线表示椭圆求参数的值,以及直线和椭圆的位置关系等问题,其中证明三点共线是难点,解答时要注意解答思路要清晰明确,即将直线和椭圆方程联立,利用根与系数的关系去表示或化简相关的代数式,解答的关键是证明有公共点的两直线斜率相等,其中的计算量较大,并且比较繁杂,要细心.题型四:构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1.(2022·广东·模拟预测)已知,分别为椭圆的两个焦点,P是椭圆E上的点,,且,则椭圆E的离心率为(       )A.B.C.D.【答案】B【分析】由题意得,利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系,即可求离心率.【详解】由题意及正弦定理得:,令,则,,可得,所以椭圆的离心率为:.故选:B2.(2022·全国·模拟预测)已知椭圆的左、右焦点分别为,,过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A,B两点,若且,则C的离心率为(       ) A.B.C.D.【答案】A【分析】先判断出直线为线段的垂直平分线,得到.利用椭圆的定义把,,,用a、c表示,利用勾股定理得到a、c的齐次式,求出离心率.【详解】因为且,所以直线为线段的垂直平分线,所以.由椭圆定义知,所以,所以,.在中,,在中,,所以,即,化简得,即,即,解得椭圆C的离心率(舍去).故选:A.3.(2022·全国·模拟预测)过椭圆的左、右焦点,作倾斜角分别为和的两条直线,.若两条直线的交点P恰好在椭圆上,则椭圆的离心率为(       )A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦定理确定的边角关系,结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值.【详解】在中,由正弦定理可得所以,所以该椭圆的离心率,故选:C. 4.(2022·江西·模拟预测(文))如图,椭圆的左、右焦点分别为,两平行直线分别过交M于A,B,C,D四点,且,则M的离心率为(       )A.B.C.D.【答案】D【分析】设,则,由椭圆定义得,由椭圆的对称性可知,连接,则.又,利用勾股定理可得答案.【详解】设,则,由椭圆定义得,由椭圆的对称性可知,连接,则.又,所以,在中,,所以,解得,所以,中,,所以,得,所以M的离心率,故选:D.5.(2022·辽宁·育明高中一模)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆;某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同,其平面图如图2所示,若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点分别向内层椭圆引切线,,且两切线斜率之积等于,则椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.【答案】C【分析】设出外层椭圆方程,利用离心率表达出内层椭圆方程,设出直线方程,联立后由根的判别式得到与,利用斜率乘积列出方程,求出,从而求出离心率.【详解】设外层椭圆方程为,则内层椭圆方程为,设过点的切线方程为,与联立得:,由得:,设过点的切线方程为,与联立得:,由得:,从而,故,椭圆的离心率为.故选:C.二、填空题6.(2022·河南焦作·三模(文))已知椭圆的右焦点为F,直线与C交于A,B两点,若以为直径的圆经过点F,则C的离心率为___________. 【答案】【分析】根据题意可以解得,,再根据得,结合求解.【详解】设,将代入椭圆方程得,不妨设,,因为以为直径的圆经过点F,所即,整理得,∵,所以,得.故答案为:.7.(2022·广东汕头·三模)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E:上,若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率是__________.【答案】【分析】画出图形,先求出,由建立方程解出离心率即可.【详解】如图:不妨设经过右焦点,由对称性可得经过另一个焦点,则,又由,解得, 则,则,即,整理得,解得,又离心率,则离心率为.故答案为:.8.(2022·江西·模拟预测(理))如图,椭圆M:的左、右焦点分别为,,两平行直线,分别过,交M于A,B、C,D四点,且,,则M的离心率为___.【答案】【分析】设,根据椭圆定义、对称性得到、、、,再利用勾股定理得到参数的齐次方程,进而求离心率.【详解】设,则,故.由椭圆的对称性知:,连接,则.又,,所以,在Rt中,即,解得,则,. 在中,即+,得,所以M的离心率.故答案为:三、解答题9.(2022·辽宁·沈阳二中二模)已知椭圆的左、右焦点为,P为椭圆上一点,且,.(1)求椭圆的离心率;(2)已知直线交椭圆于两点,且线段的中点为,若椭圆上存在点,满足,试求椭圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,以及,建立关于的方程,即可得到结果;(2)设,由(1)可知,可设椭圆方程为,根据,可得,设将其与椭圆方程联立,由韦达定理和点满足椭圆方程,可求出,进而求出结果.(1)解:因为,所以,即,则,解得.(2)解:设,由,得,所以,所以设,即由于在椭圆上,则,,① 由,得,即由在椭圆上,则,即,即,②将①代入②得:,③线段的中点为,设可知,所以,其中,解得,所以,方程为又,④将④代入③得:,经检验满足,所以椭圆的方程为.10.(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C:,,分别为C的左、右焦点,过作直线l与C交于A,B两点,满足,且.设e为C的离心率.(1)求;(2)若,且,过点P(4,1)的直线与C交于E,F两点,上存在一点T使.求的轨迹方程.【答案】(1)或(2)或. 【分析】(1)设出直线方程,与椭圆联立,利用韦达定理结合三角形面积得出关于离心率的关系即可求出;(2)设出直线方程,与椭圆联立,利用韦达定理结合已知表示出点坐标即可求出.(1)由题直线斜率存在且不为0,设,,联立方程组得,则,消去,得,不妨设,则,整理可得,解得或或(舍).(2)由题知,若斜率不存在,则与无交点,不合题意;若斜率存在,设,与联立,得,设,则,由得,设,由题,即,则可得,若,则,消去得,若,则,消去得,综上,的轨迹方程为或.11.(2022·全国·高三专题练习)F1、F2是椭圆的左、右焦点,过点F2作直线交椭圆于两点,现将椭圆所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角,翻折后 两点的对应点分别为,,且,(1)求椭圆的离心率;(2)设直线与椭圆在第一象限的交点为,为椭圆的上顶点,且直线与直线交于点,若,求的值.【答案】(1);(2).【分析】由已知可得,再由双曲线定义有,然后分别在,中由余弦定理求出,从而可求得,进而得关于离心率的方程,求解即可得答案;(2)设点的坐标为,,点的坐标为,,由已知求出与的关系,然后将与椭圆方程和直线方程联立求出与即可求解.【详解】解:(1)解:,,为二面角的平面角,即,在中,,在中,,,,解得;(2)由(1)知,,椭圆,所以,设点的坐标为,,点的坐标为,,由已知;,,即 ,由消去,得,由(1)知直线的方程为,由消去,得;,,即,又,所以.【点睛】关键点点睛:(1)问的关键是在,中由余弦定理求出,从而可求得;(2)问的关键是根据几何知识将转化为.题型五:利用自变量范围求离心率范围一、单选题1.(2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末(理))已知椭圆的上焦点为,过原点的直线交于点,且,若,则的离心率的取值范围为(       )A.B.C.   D.【答案】C【分析】由椭圆的对称性,取椭圆的下焦点,由题意可得四边形为矩形,求出,用表示的代数式,由椭圆的定义可得与的关系,由角的范围求出三角函数的范围,进而求出离心率的范围,即可得到结果.【详解】因为直线过原点,由椭圆及直线的对称性可得,所以, 设下焦点,连接,,又因为,即且互相平分,可得四边形为矩形,即有,在中,,,由椭圆的定义可得,所以,所以离心率,因为,,所以,,所以,,所以,故选:C.2.(2022·安徽·合肥一中模拟预测(理))已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(       )A.B.C.D.【答案】B【分析】由题意知,要使椭圆C的离心率取最大值,则a取最小值.即取最小值.利用点的对称性求出的最小值即可解答本题. 【详解】由题意得,2.当a取最小值时,椭圆C的离心率有最大值.设点关于直线l:的对称点为.则,解得,.则..当时,椭圆有最大离心率.此时,.故选:B.3.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的左右焦点为,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(       )A.B.C.D.【答案】D【分析】六个点,有两个是短轴端点,因此在四个象限各一个,设是第一象限内的点,分和,列方程组求得点横坐标,由可得离心率范围.【详解】显然,是短轴端点时,,满足为等腰三角形,因此由对称性,还有四个点在四个象限内各有一个,设是第一象限内使得为等腰三角形的点,若,则,又,消去整理得:,解得(舍去)或, 同得,所以,即,若,则,又,消去整理得:,解得或,舍去.所以,所以,即,时,,是等边三角形,只能是短轴端点,只有2个,不合题意.综上,的范围是.故选:D.二、多选题4.(2022·江苏南通·高三期末)已知椭圆的焦点为、,点在椭圆的内部,点在椭圆上,则(       )A.B.椭圆的离心率的取值范围为C.存在点使得D.【答案】ACD【分析】利用点在椭圆的内部可求得的取值范围,可判断A选项;利用椭圆的离心率公式可判断B选项;求出点的轨迹方程,判断点的轨迹与椭圆的公共点,可判断C选项;利用两点间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项,由已知可得,可得,则,A对;对于B选项,椭圆的离心率为,B错;对于C选项,设、分别为椭圆的左、右焦点,则、,记,设点,,,因为,则, 所以,点在圆上,联立可得,即圆与椭圆有公共点,C对;对于D选项,,D对.故选:ACD.三、填空题5.(2022·浙江·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为F,P、Q是椭圆上关于原点对称的两点,M、N分别是PF、QF的中点,若以MN为直径的圆过原点,则椭圆的离心率e的范围是___________.【答案】【分析】设点,利用条件可知得到关于的方程,再联立,用含的式子表示出,再利用的取值范围,即得出离心率的范围.【详解】设点,则,又点,∴,又以为直径的圆过原点,则有,所以,即,∴,又,所以,得, ∴,整理得:,解得,又,所以.故答案为:.6.(2022·浙江·高三专题练习)已知F是椭圆的一个焦点,若直线与椭圆相交于A,B两点,且,记椭圆的离心率为e,则的取值范围是___________.【答案】;【分析】设为椭圆的另一焦点,根据椭圆和直线的对称性可得出四边形为平行四边形,从而得到;然后在中,利用余弦定理及基本不等式即可求出的取值范围.【详解】设为椭圆的另一焦点,如图,连接,根据椭圆和直线的对称性,可得四边形为平行四边形,又因为,所以.在中,,所以,当且仅当时,等号成立,即,又因为,所以,又因为,故.故答案为:. 7.(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,长轴长为4,点在椭圆内部,则椭圆C的离心率的取值范围是______.【答案】【分析】根据长轴长为4,可求出;根据点在椭圆内部,可求出;再结合,可求出,然后根据离心率公式即可求出椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由题意可知,,所以椭圆的标准方程为,因为点在椭圆内部,所以,可得,又,所以,所以,所以椭圆C的离心率的取值范围是.故答案为:.8.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为,过原点的直线与C交于A,B两点(A在第一象限),若,且,则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】首先根据已知条件找到,转化为,进而整理 ,然后把整体看做变量,找到其范围,求出函数的值域即可.【详解】∵直线AB过原点,所以A,B关于原点对称,即又∵,∴四边形为矩形∴则在中,∵,∴∵     ∴∵A在第一象限,∴∴∴ 令,则有,即故答案为:【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).四、解答题9.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆:()的左、右两焦点分别为,,短轴的一个端点为,直线:交椭圆于,两点,.(1)若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;(2)若点到直线的距离不小于,求椭圆的离心率的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)结合椭圆的定义以及离心率的公式即可得到方程组,解之即可求出结果;(2)结合点到直线的距离公式即可得到,从而求出的范围,进而可求出结果.(1)由题意及椭圆的定义,得,∴.又,,∴,.故椭圆的标准方程为. (2)设,可得点到直线的距离为,由题意知,故,从而.∵,∴,即,∴,即椭圆的离心率的取值范围是.10.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆:()的长半轴长为.(1)若椭圆经过点,求椭圆的方程;(2)为椭圆的右顶点,,椭圆上存在点,使得.求椭圆的离心率的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由椭圆的长轴长、所过的点坐标求椭圆参数,进而写出椭圆方程.(2)设,由题设可得、,根据已知条件及两点距离公式得,联立方程求参数b的范围,利用椭圆参数关系求离心率的取值范围.(1)由题意可得:,又椭圆过,∴,解得.故椭圆的方程为.(2)由(1)知:,设,则.①由,则,∴,即.②联立①②,解得.由,即,故,解得,于是,即,即,即. 故椭圆的离心率的取值范围是.

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发布时间:2023-09-28 08:09:01 页数:54
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