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重难点07五种数列求和方法(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)-(原卷版)
重难点07五种数列求和方法(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)-(原卷版)
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重难点07五种数列求和方法(核心考点讲与练)能力拓展题型一:等差等比公式法一、单选题1.(2022·山西·模拟预测(理))已知等比数列的首项为1,若成等差数列,则的前6项的和为( )A.31B.C.D.632.(2022·福建泉州·模拟预测)记等比数列{}的前n项和为.若,则=( )A.B.C.D.3.(2022·山东菏泽·二模)已知数列中,,且对任意的m,,都有,则下列选项正确的是( )A.的值随n的变化而变化B.C.若,则D.为递增数列4.(2022·重庆一中高三阶段练习)已知等差数列(公差不为零)和等差数列的前n项和分别为,,如果关于x的实系数方程有实数解,那么以下2021个方程中,无实数解的方程最多有( )A.1008个B.1009个C.1010个D.1011个二、多选题5.(2022·山东枣庄·三模)给出构造数列的一种方法:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1,1起进行构造,第1次得到数列1,2,1,第2次得到数列1,3,2,3,1,…,第次得到数列,记,数列的前n项和为,则( )A.B.C.D.三、填空题 6.(2022·河南·模拟预测(文))设数列的前n项和为,已知,,则等于___________.7.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)记为等差数列的前项和,若,,则=_______.8.(2022·陕西·模拟预测(理))已知等差数列公差,其前n项和为,若记数据的方差为,数据的方差为,则___________.9.(2022·河北保定·二模)现有10个圆的圆心都在同一条直线上,从左到右它们的半径依次构成首项为1,公比为2的等比数列,从第2个圆开始,每个圆都与前一个圆外切,前3个圆如图所示,若P,Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点,则的最大值为___________.(用数字作答)10.(2022·湖北·荆门市龙泉中学二模)已知数列的通项公式则的前项和_____.四、解答题11.(2022·福建厦门·模拟预测)已知数列的前项和为,满足,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)记,设,求数列的前项和.13.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动,分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动,每局第一名积3分,第二、三名各积2分,第 四名积1分,每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动,每局比赛有积分,获胜者得2分,失败者得1分,每局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动,每局比赛获得第一名、第二名的概率均为,获得第四名的概率为;甲参加“双人对战”活动,每局比赛获胜的概率为.(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为,求的分布列与数学期望;(2)“挑战答题”比赛规则如下:每位参赛者每次连续回答5道题,在答对的情况下可以持续答题,若第一次答错时,答题结束,积分为0分,只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题,设置了一个“得积分进阶”活动,从1阶到阶,规定每轮答题获得5个积分进2阶,没有获得积分进1阶,按照获得的阶级给予相应的奖品,记乙每次获得5个积分的概率互不影响,均为,记乙进到阶的概率为,求.14.(2022·辽宁·东北育才学校二模)已知等比数列和递增的等差数列满足,,,.(1)求数列和数列的通项公式;(2)数列和数列中的所有项分别构成集合和,将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列前63项和.15.(2022·山东菏泽·二模)已知数列中,它的前n项和满足.(1)证明:数列为等比数列; (2)求.题型二:裂项相消法一、单选题1.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知等差数列的前n项和为,,.若对任意且,总有恒成立,则实数的最小值为( )A.1B.C.D.二、多选题2.(2022·山东·济南一中高三阶段练习)如图所示,这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具,某数学兴趣小组利用该玩具制定如下玩法:在2号杆中自下而上串有由大到小的个彩虹圈,将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆上,3号杆可以作为过渡使用;每次只能移动一个彩虹圈,且无论在哪个杆上,小的彩虹圈必须放置在大的上方;将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次,记为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数,设.下面结论正确的是( )A.B.C.D.3.(2022·全国·模拟预测)已知数列满足,,且,则( )A.B.数列是等差数列C.数列是等差数列D.数列的前n项和为三、填空题 4.(2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中)高斯函数也称为取整函数,其中表示不超过x的最大整数,例如.已知数列满足,,设数列的前n项和为,则______.四、解答题5.(2022·重庆一中高三阶段练习)已知数列的前项和为,点在直线上.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求使得成立的的最大值.6.(2022·江西·模拟预测(理))各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求;(3)设,数列的前n项和为Pn,求使Pn>46成立的n的最小值.7.(2022·江苏盐城·三模)已知正项等比数列满足,请在①,②,③,,中选择一个填在横线上并完成下面问题:(1)求的通项公式;(2)设,的前和为,求证:. 8.(2022·江西九江·三模(文))已知数列的前项和为,且满足,.(1)求;(2)求数列的前项和.9.(2022·山东枣庄·三模)已知正项数列的前项和为,且、、成等比数列,其中.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.10.(2022·浙江·模拟预测)已知递增的等差数列满足:,且成等比数列.数列满足:,其中为的前n项和.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前n项和,是否存在实数,使得不等式对一切恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 11.(2022·河南·高二期中(文))已知正项等比数列的公比大于1,其前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列,满足,,求数列的前n项和.12.(2022·天津和平·二模)已知数列的前n项和为满足.数列满足,且満足(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足;求 (3),数列的前项和为,求证:.题型三:错位相减法一、单选题1.(2022·江西鹰潭·二模(理))若正整数、只有为公约数,则称、互质.对于正整数,是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:,,,则下列说法正确的是( )A.B.数列是等差数列C.D.数列的前项和为,则2.(2022·广东·三模)在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理,如:欧拉函数()的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数,(互素是指两个整数的公约数只有1),例如:;(与3互素有1、2);(与9互素有1、2、4、5、7、8).记为数列的前n项和,则=( )A.B.C.D.3.(2022·江西·二模(理))记数列中不超过正整数n的项的个数为,设数列的前n项的和为 ,则等于( )A.B.C.D.二、多选题4.(2022·广东·高三阶段练习)已知数列满足,,数列的前n项和为,则( )A.B.C.D.5.(2022·全国·模拟预测)记数列的前项和为,数列为,….其构造方法是:首先给出,接着复制该项后,再添加其后继数,于是,得;然后再复制前面所有的项,再添加的后继数于是,得;接下来再复制前面所有的项,再添加的后继数于是,得前项为.如此继续下去,则使不等式成立的的值不可能为( )A.B.C.D.6.(2021·江苏·高三阶段练习)设和分别为数列和的前n项和.已知,,则( )A.是等比数列B.是递增数列C.D.三、填空题7.(2022·山东聊城·二模)已知数列,当时,,则数列的前项的和为______.8.(2022·内蒙古赤峰·模拟预测(理))已知数列满足,且,则 ______.9.(2022·天津市第四中学模拟预测)已知等比数列的前项和为,公比,,,数列满足且,.(1)则___________;___________;(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列,则数列的前50项和___________;(3)设数列的通项公式为:,,则___________.四、解答题10.(2022·浙江·效实中学模拟预测)已知等差数列中,公差,,是与的等比中项,设数列的前项和为,满足.(1)求数列与的通项公式;(2)设,数列的前项和为,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.11.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知数列的前项和为,,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和. 12.(2022·山东临沂·二模)已知数列的前n项和为,,.(1)求的通项公式;(2)记,求数列的前n项和.13.(2022·山西·模拟预测(文))已知数列的前项和为,且.(1)证明是等比数列;(2)求的前项和.14.(2022·天津·一模)已知数列是等差数列,其前n项和为,,;数列的前n项和为,.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和;(3)求证:. 题型四:分组(幷项)求和法一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是( ).A.9B.10C.11D.122.(2022·江苏南京·高三开学考试)若(2x+1)(22x+1)(23x+1)…(2nx+1)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),则下列说法正确的是( )A.an=2(n∈N*)B.{-1}(n∈N*)为等差数列C.设bn=a1,则数列为等差数列D.设bn=a1,则数列{bn}的前n项的和为3.(2022·河北·模拟预测)已知数列满足,(,),是数列的前项和,则( )A.508B.506C.1011D.1009二、多选题4.(2022·河北沧州·模拟预测)已知数列的通项公式为,是数列的前n项和,若,使,则( )A.1B.2C.3D.45.(2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习)已知数列满足,,是数列的前项和,则( )A.B.C.D.数列是等比数列6.(2022·江苏·苏州中学高三开学考试)在数列中,,前n项的和为Sn ,则( )A.的最大值为1B.数列是等差数列C.数列是等差数列D.三、填空题7.(2022·云南昆明·模拟预测(理))记数列的前项和为,则__________.8.(2022·新疆·三模(理))设为数列的前n项和,,,,则___________.9.(2022·云南昆明·模拟预测(文))数列的前10项和等于___________.四、解答题10.(2022·河北沧州·模拟预测)已知数列,满足.(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)设数列的前n项和为,证明:.11.(2023·福建漳州·三模)已知等差数列{}的前n项和为,且(1)求{}的通项公式:(2)若数列满足,求的前10项和.12.(2022·江苏连云港·模拟预测)已知数列是递增的等差数列,是各项均为正数的等比数列, ,,.(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前9项的和.(注:表示不超过x的最大整数)13.(2022·河南洛阳·三模(理))已知正项数列的前项和为,,,数列满足且.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和.14.(2022·湖北·荆门市龙泉中学二模)已知数列的前项和为,且(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前项和;15.(2022·山东滨州·二模)已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中,,,. (1)求数列和的通项公式;(2)令,抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变,构成一个新数列,求数列的前n项和.题型五:倒序相加法一、单选题1.(2022·湖南岳阳·二模)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋,10岁时,他在进行的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项,则( )A.98B.99C.100D.1012.(2022·浙江·高三专题练习)已知数列满足对、,都有成立,,函数,记,则数列的前项和为( )A.B.C.D.3.(2022·全国·高三专题练习)对于函数,时,,则函数 的图象关于点成中心对称.探究函数图象的对称中心,并利用它求的值为( )A.B.C.D.4.(2022·全国·高三专题练习)在进行的求和运算时,德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.已知数列满足,则( )A.B.C.D.二、多选题5.(2022·全国·高三专题练习)定义是的导函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.可以证明,任意三次函数都有“拐点”和对称中心,且“拐点”就是其对称中心,请你根据这一结论判断下列命题,其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数的对称中心也是函数的一个对称中心C.存在三次函数,方程有实数解,且点为函数的对称中心D.若函数,则三、填空题6.(2022·四川遂宁·三模(文))德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》,在其年幼时,对的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数,设数列满足,若存在使不等式成立,则的取值范围是______.7.(2022·江西萍乡·二模(理))已知函数,等差数列满足,则 __________.8.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)设函数,定义,其中,,则______.9.(2021·全国·高三专题练习)已知函数,则________.10.(2022·全国·高三专题练习)已知数列,2,3,,,圆,圆,若圆平分圆的周长,则数列的所有项的和为___.四、解答题11.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上,函数.(1)求数列的通项公式;(2)求的值;(3)令,求数列的前2020项和.12.(2021·全国·高三专题练习)已知函数,,正项等比数列满足,则值是多少?.13.(2012·江西宜春·高三阶段练习(理))设、是函数的图象上任两点,且,已知点横坐标为,(1)求点的纵坐标;(2)若,其中且,求. (3)已知,其中,为数列的前项和,若对一切都成立,求取值范围.
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