重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(原卷版）

重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）方法技巧1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6.对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.能力拓展 题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题1．（2022·河南河南·三模（理））若实数，，满足，，，则（       ）A．B．C．D．2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）A．B．C．D．3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（       ）A．B．C．D．4．（2022·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（       ）A．B．C．D．5．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知，函数的零点为，的极小值点为，则（       ）A．B．C．D．6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）A．B．C．D．二、多选题7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数在区间的最小值为，且在区间唯一的极大值点．则下列说法正确的有（       ） A．B．C．D．8．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T为函数的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（       ）A．函数是“类周期函数”B．函数是“类周期函数”C．如果函数是“类周期函数”，那么“，”D．如果“类周期函数”的“类周期”为，那么它是周期为2的周期函数9．（2021·江西·模拟预测）已知实数，设方程的两个实数根分别为，则下列结论正确的是（       ）A．不等式的解集为B．不等式的解集可能为空集C．D．三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是___________．(写出所有正确命题的编号)①在中，是的充要条件；②函数的最大值是；③若命题“，使得”是假命题，则；④若函数，，则函数在区间内必有零点．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，为的导函数，下列命题：①存在实数，使得导函数为增函数； ②当时，函数不单调；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数有极值．在以上命题中，正确的命题序号是______．12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数的零点，则__________．13．（2022·全国·高三专题练习）已知，均为正实数，且满足，，则下面四个判断：①；②；③；④.其中一定成立的有__（填序号即可）.14．（2020·湖南邵阳·三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：①；②③；④（）；⑤；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）15．（2020·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝1＋x－＋，g(x)＝1－x＋－，若函数F(x)＝f(x＋3)g(x－4)，且函数F(x)的零点均在[a，b](a<b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________.四、解答题16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)若，求证：在区间内有唯一零点；(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.17．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知函数.(1)讨论的导函数零点的个数；(2)若的最小值为e，求a的取值范围. 题型二：方程法判断零点个数一、单选题1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（       ）A．是偶函数B．有无数个零点C．的最小值为D．的最大值为2．（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（       ）A．个B．个C．个D．个3．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（     ）A．为的对称轴B．为的对称中心C．在区间上有3个零点D．在区间上单调递增4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点个数为（       ）A．0B．1C．2D．3二、多选题5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则（       ）A．的定义域为RB．是奇函数C．在上单调递减D．有两个零点6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（       ）.A．是周期函数B．若，则（）C．在区间上是增函数D．函数在区间上有且仅有一个零点 7．（2022·全国·高三专题练习）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（       ）A．B．C．D．8．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数有下述四个结论，则（       ）A．是偶函数B．的最小值为C．在上有4个零点D．在区间单调递增三、填空题9．（2022·福建·模拟预测）已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是____________.10．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数有3个零点，则实数m的取值范围为______．四、解答题11．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.12．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知函数.(1)当时，判定的零点的个数；(2)是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（       ）．①当时，函数没有零点；②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数；③当时，函数有两个不同零点；④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1．A．①②B．②③C．②④D．③④2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）A．且B．且C．且D．且3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．4．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ）A．0B．2C．4D．6二、多选题5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（     ）A．任取，都有 B．，其中；C．对一切恒成立；D．函数有个零点；6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）A．是以2为周期的周期函数B．点是函数的一个对称中心C．D．函数有3个零点三、填空题7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数，则函数的零点个数是______个．8．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：①已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则；②存在负数，使得恰有3个零点；③已知多项式，则；④设一组样本数据的方差为，则数据的方差为其中真命题的序号为___________.9．（2022·四川成都·二模（文））定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．10．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：（1）若，则有两个零点；（2），使得有一个零点；（3），使得有三个零点； （4），使得有三个零点．以上正确结论的序号是__．四、解答题11．（2022·北京·高三学业考试）给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．条件①：；条件②：；条件③：．解答下列问题：（1）写出和的值；（2）写出在上的单调区间；（3）设，写出的零点个数．12．（2021·河北·高三阶段练习）已知函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数. 13．（2021·辽宁·高三阶段练习）已知函数的最小正周期为．（I）求函数的解析式；（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．题型四：转化法判断函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（       ）A．3B．4C．5D．62．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（       ）A．3B．4C．2D．13．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）已知函数则函数的零点个数不可能是（       ）A．1B．2C．3D．4 4．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（       ）A．B．C．D．二、多选题5．（2022·江苏无锡·高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列结论正确的是（       ）A．函数是上的单调递增函数B．函数有个零点C．是上的奇函数D．对于任意实数，都有6．（2022·全国·高三专题练习）定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（       ）A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解三、填空题7．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，=，则方程解的个数为___________.8．（2021·全国·模拟预测）已知函数若直线与函数的图象交于A，B 两点，且满足，其中O为坐标原点，则k值的个数为___________.四、解答题9．（2021·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点．10．（2020·安徽·淮南市第五中学高三阶段练习（理））已知是定义在上的偶函数，当时，（1）求，的值；（2）求的解析式并画出函数的简图；（3）讨论方程的根的情况.题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数一、单选题1．（2022·广东韶关·二模）已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（       ）A．0B．1C．0或1D．1或22．（2022·天津·高三专题练习）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（       ） A．B．C．D．3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数有两个零点，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．二、多选题4．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，则以下结论正确的是（       ）A．f(x)的图象关于直线对称B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数C．f(x)在区间上单调递减D．方程恰有三个不相等的实数根5．（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（       ）A．是偶函数B．在上单调递增C．当时，D．方程有且只有两个实根6．（2022·全国·高三专题练习）函数，则下列说法正确的有（       ）A．函数是上的单调递增函数B．对于任意实数，不等式恒成立C．若，且，则D．方程有3个不相等实数解三、解答题7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，证明：方程有且仅有一个正根. 8．（2022·河北·模拟预测）已知函数.(1)请研究函数在上的零点个数并证明；(2)当时，证明：.9．（2022·全国·高三专题练习）设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)讨论的单调性；(3)当时，讨论在上的零点个数.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若，求函数在上的零点个数；(2)当时都有，求实数的取值范围. 题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围一、单选题1．（2022·四川成都·三模（理））若函数的零点为，则（       ）．A．B．1C．D．22．（2022·湖南岳阳·三模）已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．二、多选题4．（2021·辽宁·东北育才学校二模）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（       ）A．若为的跟随区间，则B．函数存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”三、填空题5．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.6．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．四、解答题7．（2021·辽宁·东北育才学校二模）已知二次函数满足以下条件：①经过原点;②，;③函数只有一个零点 (1)求二次函数的解析式；(2)若函数与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数一、单选题1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ）A．B．或C．或或D．或2．（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，，当时，若函数的图象和直线有个交点，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．二、多选题4．（2022·福建莆田·三模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（       ） A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是C．若有4个不同的零点，则D．若有4个不同的零点，则的取值范围是5．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是（       ）A．B．C．D．三、填空题6．（2022·贵州毕节·三模（文））已知函数在有且仅有个零点，则的取值范围为__________．7．（2022·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.8．（2022·全国·三模（理））已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，．设，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数m的取值范围是__________．9．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．四、解答题10．（2022·北京密云·高三期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：函数存在极小值；(3)请直接写出函数的零点个数.