重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(原卷版）

重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（       ）A．1B．C．D．或2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（       ）A．B．C．D．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（       ）A．与椭圆C可能相交B．与椭圆C可能相切C．与椭圆C可能相离D．与椭圆C不可能相切4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ）A．椭圆C的方程为B．椭圆C的方程为C．D．的周长为5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（       ） A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形C．取值范围为D．周长的最大值为6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（       ）A．椭圆的短轴长为B．当最大时，C．椭圆离心率为D．面积最大值为三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于 x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆的方程；(2)求四边形面积的最大值.11．（2022·天津三中二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，且的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，设直线与椭圆的另一个交点为H，连接得到直线，交x轴于点M，交y轴于点N，记、的面积分别为，，求的最小值.12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上项点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（       ）A．3B．6C．D．2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（       ）A．B．C．D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（       ） A．B．C．D．二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x＝my－1经过椭圆C：的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（       ）A．椭圆C的短轴长为B．弦的最小值为3C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点D．若，则5．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为F1､F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（       ）A．椭圆C的焦距为2B．三角形MF1F2面积的最大值为C．D．圆G在椭圆C的内部6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆：与半椭圆：组成，其中，，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是轴截面与，轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界，，在宝珠珠面上，若，则以下命题中正确的是（       ） A．椭圆的离心率是B．椭圆上的点到点的距离的最小值为C．椭圆的焦距为4D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆的焦距为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点，点是椭圆上在第一象限的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与的面积分别为，求的取值范围． 9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知是椭圆的左､右焦点，是的上顶点.到直线的距离为.(1)求的方程；(2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点与交于点，直线与分别交于两点，求证：.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（       ）A．B．C．D．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（       ）A．B．C．D．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（       ）A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4C．的面积可能为2D．的最小值为三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆和在相同的焦点，，离心率分别为，B为椭圆的上顶点，，且垂足P在椭圆上，则的最大值是___________. 5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为且过点的直线与轴交于点(1)证明：直线与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为，过点且与垂直的直线交轴于点，记的面积为的面积为，若，求椭圆的离心率7．（2022·安徽安庆·二模（理））已知曲线，其离心率为，焦点在x轴上.(1)求t的值；(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围 一、单选题1．（2022·广东·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（       ）A．B．C．D．2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为（       ）A．B．C．D．3．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ）A．B．C．D．4．（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M于A，B，C，D四点，且，则M的离心率为（       ）A．B．C．D．5．（2022·辽宁·育明高中一模）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（  ） A．B．C．D．二、填空题6．（2022·河南焦作·三模（文））已知椭圆的右焦点为F，直线与C交于A，B两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.7．（2022·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．8．（2022·江西·模拟预测（理））如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．三、解答题9．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．(1)求椭圆的离心率；(2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 10．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：，，分别为C的左､右焦点，过作直线l与C交于A，B两点，满足，且.设e为C的离心率.(1)求；(2)若，且，过点P（4，1）的直线与C交于E，F两点，上存在一点T使.求的轨迹方程.11．（2022·全国·高三专题练习）F1、F2是椭圆的左、右焦点，过点F2作直线交椭圆于两点，现将椭圆所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，翻折后两点的对应点分别为，，且，（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，为椭圆的上顶点，且直线与直线交于点，若，求的值．题型五：利用自变量范围求离心率范围 一、单选题1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（       ）A．B．C．   D．2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（       ）A．B．C．D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）A．B．C．D．二、多选题4．（2022·江苏南通·高三期末）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（       ）A．B．椭圆的离心率的取值范围为C．存在点使得D．三、填空题5．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是___________.6．（2022·浙江·高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.7．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______. 8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.四、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右两焦点分别为，，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，．(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若点到直线的距离不小于，求椭圆的离心率的取值范围．10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的长半轴长为．(1)若椭圆经过点，求椭圆的方程；(2)为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围．