第四章　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题[培优课]

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期　　　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．题型一　三角函数的单调性与ω的关系例1　已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　方法一　由题意得则又ω>0，所以所以k＝0，则0<ω≤.方法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.思维升华　确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．跟踪训练1　(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个答案　D解析　∵f ＝3，f(π)＝0，∴π－＝·T(n∈N*)，T＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∵f(x)在上单调递减，∴≥－＝，∴T≥，即≥，∴2n－1≤10，∴n＝1,2,3,4,5，即周期T有5个不同取值，∴ω的取值共有5个．题型二　三角函数的对称性与ω的关系例2　(多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　)A.B.C．1D．4答案　CD解析　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝cos，又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，所以F(x)＝sincos＝sin的图象关于点对称，则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.思维升华　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期跟踪训练2　已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　)A.∪B.∪C.∪D.∪答案　C解析　因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B；又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z，当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1，当k＝1时，≤ω≤，符合题意，当k＝2时，≤ω≤，符合题意，当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确．题型三　三角函数的最值与ω的关系例3　将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由已知得函数g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，知sinφ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴≤ωx＋≤2πω＋，由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋<，∴≤ω<.思维升华　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．跟踪训练3　(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　)A．11B．13C．15D．17答案　C解析　由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，所以f ＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，①又f ＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间上有最小值无最大值，所以T≥－＝，即≥，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期题型四　三角函数的零点与ω的关系例4　将函数f(x)＝cosx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　)A.∪B.C.∪D．(0,1]答案　A解析　将函数f(x)＝cosx的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ω>0)的图象，周期T＝，因为函数g(x)在上没有零点，所以－≤，得T≥2π，即≥2π，得0<ω≤1，假设函数g(x)在上有零点，令g(x)＝0，得ωx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，则<＋<，得＋<ω<＋2k，k∈Z，又0<ω≤1，所以<ω<或<ω≤1，又函数g(x)在上没有零点，且0<ω≤1，所以0<ω≤或≤ω≤.思维升华　三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．跟踪训练4　(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，所以<2ωπ＋≤，解得<ω≤，即ω的取值范围是.7．(多选)(2023·郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是(　　)A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为答案　CD解析　因为f(x)＝1－2cos2＝－cos＝sin，所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误；对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y＝sin，其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0,2)，所以B错误；对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C正确；对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．8．(2023·衡水调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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